ダイアモンド オンライン より、
インド式計算法で大きな数の2ケタどうしのかけ算を瞬時に解く方法
(https://diamond.jp/articles/-/326906)
実はインド人じゃなくて、ビックリするのは日本人なんだけど、11×11～99×99までの掛け算の総数は、
99 ― 11 ＋１＝ 89・・・・・11から99までの数字の数
89 × 89 ＝ (90 ― 1)×(90 ― 1)・・・・・中学生なら解るよね
＝90×90―2×90＋1・・・・・上の式を展開
＝8100―180＋１＝7921
だけど、掛ける数と掛けられる数を入れ替えても、掛け算の答えは同じだから、11×11～99×99の同じ数字の掛け算は11×11・・・・99×99の掛け算の列の上側と下側の答えは同じものが2個ずつあるのが解るよね。だから、
11×11・・・・99×99 の数を数えると、99 ― 11 ＋１＝ 89 だよね。
89 × 89 ＝7921
そこで、7921 ― 89 ＝ 7832 そして、2で割れば、7832 ÷ 2 ＝3916になります。
あとは、3916 ＋ 89 ＝4005・・・・・こんなに憶えてるの？？？
ホントかな？ と、試してみました。 今回は“試した編”なのだ。
簡単になるかもしれないと、いろいろ計算する前に、掛ける数と掛けられる数の数字の種類分けをしました。まずは単純なものからね。
これから 2個の数字をアルファベットで、a b c d とか書くことにします。
[数字を1個]
・ aa × aaのとき たとえば 66×66 みたいなとき
aa × aa ＝ (a×10 ＋ a)×(a×10 ＋ a)
＝ a×a×100 ＋ 2a×10 ＋ a×a
＝ a×a×101 ＋ a×20・・・・・このときは、101と20を使う
具体例を見て、気が付いた人、絶対いるよね。
66×66 ＝ 66×(60 ＋ 6) ＝ 3960 ＋ 396 ＝ 4356
[数字を2個]
・ aa × bbのとき たとえば 33 × 77 みたいなとき
aa × bb ＝ (a×10 ＋ a)×(b×10 ＋ b)
＝a×b×100 ＋ 2×a×b×10 ＋ a×b
＝ a×b ( 100 ＋ 20＋ 1 )
＝ 121×a×b ・・・・・このばあいは、121 を使う
上の計算は 自分でやってみて！ 計算器で確認ね。
具体的に計算してみると、 一の位は足して 10 。これ使えるよね。(別の方法)
33 × 77 ＝ 2100 ＋210＋ 210 ＋ 21 ＝ 2541
第一項～第三項に注目 これを使うと、
44 × 66 ＝ 2400 ＋ 2×240 ＋ 24 ＝ 2880 ＋ 24 ＝ 2904
もう一度、足して 10 にならない場合は
99 × 22 ＝ 1800 ＋ 2×180 ＋ 18 ＝2160 ＋ 18 ＝ 2178
・ ab × ab のとき たとえば 12 × 12 みたいなとき
ab × ab ＝ ( a×10 ＋ b)×( a×10 ＋ b)
＝ a×a×100 + 2×a×b×10 + a×b
＝ a×a×100 + 21×a×b・・・・・このばあいは、×100 と×210
具体例を見て、気が付いた人、絶対いるよね。これは 左から積み算！
12 × 12 ＝ 120 ＋ 24 ＝ 144
・ ab × ba のとき たとえば 12 × 21 みたいなとき
ab × ba ＝ (a×10 ＋ b)×(b×10 ＋ a)
＝ a×b×100 ＋ a×a×10 ＋ b×b×10 ＋ a×b
＝ a×b×101 ＋ 10 ×(a×a ＋ b×b)
具体例を見て、気が付いた人、絶対いるよね。積み算を左から掛けると、
12 × 21 ＝ 12 × 20 ＋ 12 × 1 ＝ 240 ＋ 12 ＝ 252
[数字を3個]
・ ab × ac のとき たとえば 73 × 76 のような場合
ab × ac ＝ a×a×100 ＋ a×(b ＋ c)×10 ＋ bc
＝ a×a×100 ＋ a×b×10 ＋ a×c×10 ＋ b×c
＝ a×a×100 ＋(b + c)×a×10 ＋ b×c
このときは b ＋ c ＝10 だと楽になるけどね。
展開式通りにやれば、
73 × 76 ＝ 4900 ＋ 630 ＋ 18 ＝5748
一の位の和を 10 にして計算すれば、
74 × 76 ＝ 4900 ＋ 700 ＋ 24 = 5624 ・・・これ、7×(7＋1) ＝56
この理由を説明できるかな？？？
(ダイアモンド・オンラインの記事はこれなんだけど、この裏技を自分で見つけられたら、君を尊敬します)
・ ba × ca のとき たとえば 52 × 62 のような場合
ba × ca ＝ ( b × 10 ＋ a)( c × 10 ＋ a)
＝ b × c × 100 ＋ a × c ×10 ＋ b ×a × 10 ＋ a × a
＝ b × c × 100 ＋ a ×(c ×10 ＋ b×10 ＋ a)
具体例を見て、 52 × 62 ＝ (50 ＋ 2) × (60 ＋ 2) と計算するのが楽かな。
ちなみに、十の位の和が 10 のときを、計算してみよう。
32 × 72 ＝ 2100 ＋ 200 ＋ 4 ＝ 2304
・ aa × bc のとき たとえば 44 × 26 のような場合
aa × bc ＝ (a×10 ＋ a)×(ｂ×10 ＋ c)
＝ a×b×100 ＋ a×b×10 ＋ a×c×10 ＋ a×c
＝ a×b×100 ＋ a×(b×10 ＋ c×10 ＋ c)
具体例を見て、一の位の和が10 になっているから、
44 × 26 ＝ (40 ＋ 4)×(20 ＋ 6)
＝ 800 ＋ 240 ＋ 80 ＋ 24 ＝ 1120 ＋ 24 ＝ 1144
一の位の和が 10 でない場合も、あんまり 関係ないね。
44 × 27 ＝ 800 ＋ 280 ＋ 80 ＋ 28 ＝ 1188
こうなると、積み算で計算するのとあまり変わらないね。
[数字を4個]
・ ab × cd のとき たとえば 73 × 56 のような場合
ab × cd ＝ (a×10 ＋ b)×(c×10 ＋ d)
＝(a＋c)×100 ＋(a×d＋b×c)×10＋b×c
計算上は こうなるけど、こんなのを憶えても・・・
具体例を計算してみると、
73 × 56 ＝ 3500 ＋ (42＋15)×10 ＋ 18
＝ 3500 ＋ 570 ＋ 18 ＝ 4070 ＋ 18 ＝ 4088
ちなみに、
73 × 56 ＝(70 ＋ 3)×(60 ― ４) ＝ 4200＋180－280－12
と計算するほうが楽かな！ この考え方は「さくらんぼ計算」のやり方だよね。
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「さくらんぼ計算」「おみやげ算」については、インターネットにいっぱい出ていますから、興味があれば探してください。内容を理解して、どうしてそうなるのかを考えてから使ってください。
① ここでは、二桁の掛け算を 積み算から横に並べて書いていく(展開式)で書いてみました。これを繰り返したら、中学校で習う文字式の展開方法と二次式に、自ら気づくことが出来るでしょう。自分でやってみて、新発見するのです。
② その上で いろいろな条件の場合のやり方を工夫します。小学校四年生なら素数の積にする方法を学習します。素数の積に書き換えれば計算が楽になる場合。
③ 一の位を 0 にする方法。 一の位の数の和が10になるとき。
④ ×121 ×101と20倍する方法・・・それぞれ工夫をして、手抜き工事をしましょう。
他人に この計算をやってみたらと勧めた以上、私も考えてみました。計算器という便利な道具がある時代ですから、大人が 今更、計算を考える必要はありません。
小学生・中学生の皆さんは 基本を憶えたら、それに慣れてからは それを工夫すること。 出来れば 簡単なやり方とか、楽なやり方は無いかを、考える習慣を身につけて下さい。それが教育の本質なのです。どの教科でもそうだよ。別の方法・別の考え方を考えること。これは受験教育の為ではありません。考えて工夫することが生きていく為の最大のスキルなのです。失敗は何度しても構いません。次に失敗しなければ それで良いのです。これは けっして、お受験のための記事ではございません。