P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )
=
1/t^2+Σ( 1/( t-w )^2-1/w^2 ) ( w ∈ Ω-{ 0 } ) : Weierstrass
=
1/t^2+a4( Ω )( 3t^2 )+a8( Ω )( 7t^6 )+a12( Ω )(11t^10 )+ ・・・
=
1/t^2+t^2/5+ ・・・ : Laurent展開
a4k( Ω ) ( k = 自然数 ) : Eeisenstein級数
=
Σ1/w^( 4k ) ( w ∈ Ω-{ 0 } )
⇒
P’( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )^2
= 4P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )^3-4P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )
= 4P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )^3-60a4( Ω )P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )
⇒
a4( Ω = ωZ[ √-1 ] )
=
1/15
⇔
a4( Z[ √-1 ] )
=
ω^4/15 : Hurwitz
=
( π/A.G.M.( 1 , √2 ) )^4/15 : Gauss