∫ 1/√( 4x^3-ax-b ) dx ( x = constant 〜 t )
= f( t )
z
= f-inverse( t )
とすると
f’( t )
= 1/√( 4t^3-at-b )
f( z )
= t
⇒
dz/dt
= 1/( dt/dz )
= 1/f’( z )
= √( 4z^3-az-b )
⇒
( dz/dt )^2
= 4z^3-az-b
= 4( z-e1 )( z-e2 )( z-e3 )
そこで
y
= dz/dt
と置くと
y^2
= 4z^3-az-b : 楕円曲線
特に
楕円曲線 :
y^2
= ( dz/dt )^2
= 4z^3-4z
⇒
z
= 1/t^2+t^2/5+ ・・・ : even
の形！
更に
z
= P( t )
α
= ∫ 1/y dz ( z = 1 〜 ∞ )
= ω/2 ( ω : lemniscate周率 )
として
2α = ω , 2ατ = ω√-1 : periods of P( t )
になっている.
そこで
Ω
= 2α( Z1+Z√-1 )
= ωZ[ √-1 ]
として
z
= P( t )
= P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] ) : Weierstrass-2重周期関数
と置くと
P’( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )^2
= 4P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )^3-4P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )
P( t ; Ω = ωZ[ √-1 ] )
= 1/t^2+t^2/5+ ・・・