q
= exp( π√-1τ ) ( | q |＜ 1 )
として
f2( τ )^12
= 2^6qΠ( 1+q^( 2m ) )^12 ( m = 自然数 )
なる関係がある.
すると
f2( τ )^24
= 2^12q^2Π( 1+q^( 2m ) )^24 ( m = 自然数 )
＞ 2^12q^2( 1/( 1-q^2 ) )^24
⇒
q^2
＜ ( f2( τ )^24/2^12 )( 1-q^2 )^24
が成り立っている.
τ
= √-1 :
q
= exp( -π )
f2( τ )^24
= 2^3
⇒
q^2 = exp( -2π )
＜ ( 1-q^2 )^24/2^9
= 0.001867443 ・・・: 逐次近似法
⇒
π = 3.1415926536 ・・・
＞ ln( 0.001867443 ・・・ )/( -2 )
= 3.1415925788 ・・・
τ
= √-2 :
q
= exp( -√2π )
f2( τ )^24
= ( 2( √2-1 ) )^3
⇒
q^2
= exp( -2√2π )
＜ ( 2( √2-1 ) )^3/2^12 )( 1-q^2 )^24
= 0.0001383442 ・・・
⇒
π
＞ ln( 0.0001383442 ・・・)/( -2√2 )
= 3.1415926536 ・・・ ( E-011 )