α
= K( k(τ) )/√( e1-e3 )
と置くと
√( e1-e3 )
= K( k(τ) )/α
= (π/2 )θ3( 0 )^2/α
= (π/( 2α) )θ3( 0 )^2
⇒
√( e2-e3 )
= √( e1-e3 )k(τ)
= (π/( 2α) )θ3( 0 )^2(θ2( 0 )/θ3( 0 ) )^2
= (π/( 2α) )θ2( 0 )^2
⇒
√( e1-e2 )
= √( ( e1-e3 )-( e2-e3 ) )
= √( (π/( 2α) )^2(θ3( 0 )^4-θ2( 0 )^4 ) )
= √( (π/( 2α) )^2θ4( 0 )^4 )
= ±(π/( 2α) )θ4( 0 )^2
すると
( e1-e2 )( e1-e3 )( e2-e3 )
= (π/( 2α) )^6(θ4( 0 )θ3( 0 )θ2( 0 ) )^4
このとき
θ2( 0 )
=η(τ)f2(τ)^2
θ3( 0 )
=η(τ)f(τ)^2
θ4( 0 )
=η(τ)f1(τ)^2
なので
( e1-e2 )( e1-e3 )( e2-e3 )
= (π/( 2α) )^6η(τ)^12( f(τ)f1(τ)f2(τ) )^8
= (π/( 2α) )^6η(τ)^12( √2 )^8
= ( 1/2^2 )(π/α)^6η(τ)^12
⇒
D : 判別式
= ( ( e1-e2 )( e1-e3 )( e2-e3 ) )^2
= ( 1/2^4 )(π/α)^12η(τ)^24
⇒
Δ(τ) = 2^4D : 定義
= (π/α)^12η(τ)^24
ところで一般に
4K( k(τ) )/√( e1-e3 ) = 4α,
2K’( k(τ) )√-1/√( e1-e3 ) = 2τα : periods of P( z ; Ω )
なので
Ω
= Z( 4α)+Z( 2τα)
= 2α( 2Z+τZ )
⇒
2α
= 1
⇒
Δ(τ)
= ( 2π)^12η(τ)^24
更に
Δ(τ)
= ( 2π)^12( ( 1+240s )^3-( 1-504t )^2 )/12^3
なる関係があるので
( 1+240s )^3-( 1-504t )^2
= 12^3η(τ)^24
q.e.d.
Remark :
η(τ)^24 = Στ( n )x^n ( n = 自然数 )
= ( ( 1+240s )^3-( 1-504t )^2 )/12^3
から
τ( n )
が計算出来る.