( 1+240s )^3-( 1-504t )^2
= 12^3η(τ)^24
なる関係があるそうな・・・
これが証明出来ないか？
但し
x
= q^2
として
s
= x( 1+9x+28x^2+73x^3+・・・・・・・ )
t
= x( 1+33x+244x^2+1057x^3+・・・・・・・ )
η(τ)
= x^( 1/24 )Π( 1-x^m ) ( m = 自然数 )
とする.
そこで
η(τ)^24
= Στ( n )x^n ( n = 自然数 )
τ( n ) : Ramanujan τ-function
という.
すると
J(τ) = 1/x+744+196884x+・・・・・・・
= 12^3( 1+240s )^3/( ( 1+240s )^3-( 1-504t )^2 )
= 12^3( 1+240s )^3/( 12^3η(τ)^24 )
= ( 1+240s )^3/η(τ)^24
⇔
η(τ)^24 = xΠ( 1-x^m )^24 ( m = 自然数 )
= ( 1+240s )^3/( 1/x+744+196884x+・・・・・・・ )
= x( 1+240s )^3/( 1+744x+196884x^2+・・・・・・・ )
⇔
Π( 1-x^m )^24 ( m = 自然数 )
= ( 1+240s )^3/( 1+744x+196884x^2+・・・・・・・ )
これを計算するのは大変だな・・・