q
= exp(π√-1τ)
⇒
1/q
〜 ( 4/k(τ) )^2-8 : 近似公式
そこで
τ
= √-19
k(τ)
= sinθ
とすると
1/q = exp( √19π)
〜 ( 4/sinθ)^2-8
⇒
( sinθ)^2 = ( 1-cos2θ)/2
〜 16/( 1/q+8 )
⇒
cos2θ
〜 1-32/( 1/q+8 )
⇒
a
= ( 2sin2θ)^2
= 2^2( 1-( cos2θ)^2 )
〜 2^2( 1-( 1-32/( 1/q+8 ) )^2 )
⇒
J( ( 1+√-19 )/2 )
= 2^8( a-1 )^3/a
〜 -884736 = ( -2^5・3 )^3
q.e.d.
実際には
J( ( 1+√-19 )/2 )
= ( -2^5・3 )^3
になっている.