楕円曲線 C : y^2 = 4x^3-ax-b = 4( x-e1 )( x-e2 )( x-e3 )
D = ( ( e1-e2 )( e1-e3 )( e2-e3 ) )^2 : 判別式
Δ= 4^2D = a^3-27b^2
α= K( k )/√( e1-e3 )
とすると
η(τ)
= ( 2k(τ)k’(τ) )^( 1/6 )( K( k )/π)^( 1/2 ) : 公式
= Δ^( 1/24 )(α/π)^( 1/2 )
になっている.
ex.
楕円曲線 C : y^2 = 4x^3-4x
Δ
= 2^6
( e1 , e2 , e3 )
= ( 1 , 0 , -1 )
とすると
k
= 1/√2
= k’
⇒
τ
= √-1
q
= exp( -π)
K( k )
= (π/2 )( 1/A.G.M.( 1 , k’ = 1/√2 ) )
⇒
α
= (π/2 )( 1/A.G.M.( 1 , k’ = 1/√2 ) )/√2
= (π/2 )( 1/A.G.M.( √2 , 1 ) )
⇒
α/π
= ( 1/2 )( 1/A.G.M.( 1 , √2 ) )
⇒
η( √-1 )
= exp( -π/12 )Π( 1-exp( -π )^( 2n ) ) ( n = 自然数 ) : 定義
= ( 2^6 )^( 1/24 )( ( 1/2 )( 1/A.G.M.( 1 , √2 ) ) )^( 1/2 )
= 2^( -1/4 )A.G.M.( 1 , √2 )^( -1/2 )
= 0.768225422・・・・・・・ : Excel検算
q.e.d.