x/( e^x-1 )
= xe^( -x )/( 1-e^( -x ) )
= x( e^( -x )+e^( -2x )+e^( -3x )+・・・・・・・)
⇒
∫ x/( e^x-1 ) dx ( x = 0～∞ )
= ∫xe^( -x ) dx
+∫xe^( -2x ) dx
+∫xe^( -3x ) dx
+・・・・・・・← 一様収束？
= 1
+1/2^2
+1/3^2
+・・・・・・・
= ζ( 2 )
= π^2/6
q.e.d.
強引にやると一応出て来る・・・
関数論で厳密にやると留数定理から出て来るみたいですが・・・