x/( e^x-1 )

f( x )
= x/( e^x-1 )
= B0+B1x+( B2/2! )x^2+( B3/3! )x^3+・・・・・・・
と置くと

f( -x )
= f( x )+x
⇒
f( -x )+( -x )/2
= f( x )+x/2

そこで
g( x )
= f( x )+x/2
= B0+( B1+1/2 )x+( B2/2! )x^2+( B3/3! )x^3+・・・・・・・
と置くと

g( -x )
= g( x )
⇔
g : even
だから

B1+1/2
= B3/3!
= B5/5!
= B7/7!
= ・・・・・・・
= 0
⇒
B1
= -1/2
B3
= B5
= B7
= ・・・・・・・
= 0

になっている！