『東京大学 理系数学 講評| 2025年大学入試数学』

●２０２５年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。

今回から国公立入試数学の講評をやっていきます。

２０２５年大学入試（国公立）シリーズ

東京大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。

自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

講評は動画でも紹介していますので、お好きな方でご覧ください。

東京大学理系数学

（試験時間150分、6問、記述式）

１．全体総評
２．合格ライン
３．各問の難易度など
４．対策

１．全体総評～2023並みに戻ってやや難化～

昨年少しマシになったと思いきや、また2023年並みに戻りました。厳しいセットです。

マシなのは第１問ぐらいで、その他は全部(1)までで、最後まで解き切るのがムリという状況も全然あり得ます。なお今年は、東大頻出の空間図形からの出題がまったくありませんでした。

試験時間150分に対し、標準回答時間は220分。時間も過去最高レベルですね。

2024年：195分

2023年：205分以上(第6問を捨てれば145分)

2022年：205分

2021年：205分

2020年：210分

2019年：210分

2018年：195分

2017年：165分

2016年：205分

2015年：215分

2014年：205分

2013年：205分

2012年：205分

2011年：195分

2010年：200分

２．合格ライン

第１問は今年のセットを考えると落とせない。それでも計算量は多め。(3)で根号を外せるか。

第２問は(1)はおさえる。(2)は厳しめ。上からの評価が出来ればそれだけでも有利か。

第３問は文字もあいまって、計算が繁雑なタイプ。これの(2)でどこまで稼げるかが1つキーになりそう。

第４問の(1)は押さえたい。(2)は素数なら1個の方だけでも示したい。

第５問は本セット最難問で厳しい。(1)だけでもなんとか記述しておきたい。(2)は捨て問。

第６問は時間を確保できているかどうかがキー。時間があれば完答近い点数を稼げる。これが第６問なのがちょっと意地悪、

理I、理II：0完でも部分点でかじりまくれば望みがあるレベル。半分あればアドバンテージでしょう。

理III：プラス１完分で70～75点ぐらいですかね。

３．各問の難易度

第１問【微積分総合】媒介変数表示されたグラフ、面積、弧長（B,30分、Lv.2）

問題文からは単元が判別しにくいですが、媒介変数ｔで表わされた座標Utが描く曲線に関する問題。計算量を考えると決して簡単ではないですが、本セットの中ではこれが一番マシ。

(1)はひたすら内分点を計算していきます。ここで落すとこの第１問すら全滅になるので、ガチで合わせに行くつもりで計算しましょう。ｔ＝０，１を入れて、問題文にあるA、Dに一致することで検算になります。

(2)は(1)が出来れば求められます。媒介変数表示関連の面積や体積はこちらの原則です。

Principle Piece 媒介変数表示タイプの求積はまず　∫y dx として、区間、y、dxをすべて置換していく

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅲ 積分法(グラフ編) p.11 参照）

ｔが進むときに、xの進行方向が常に一定かどうかだけ確認しましょう。今回は０≦ｔ≦１でｘ座標は増加します。

(3)も(1)の式から弧長の公式に代入するだけです。答えかたが「ａの多項式で」と書いているので、根号が外せるはずだとメタ読みできたかどうか。

外せるかも、と思えば、4次の項や定数項などから、(〇x^2+●ｘ+△)^2で◌と△は予想が付きます。あとは3次の係数や1次の係数で●や、間の符号を決めましょう。

KATSUYAの解答時間は19:17しょっぱなからまあまあメンドウ。嫌な予感するな(←的中してしまう)

☆第２問【微積分総合(数式)】不等式の証明、定積分と極限（C、40分、Lv.3）

第１問に続いて数Ⅲの微積分。こちらは数式系で、不等式の証明と、それを利用して極限を求める問題です。最初の2問ががっつり数Ⅲという配置ですが、本問は本セットの中でも難易度が高い方だと思います。(1)止まりの人が多いと思います。

最初はいいでしょう。差を取って微分です。一応原則ですが、さすがにいいですね。

Principle Piece 不等式の証明は差を取って微分

（詳細は拙著シリーズ数学II 微分法 p.48 参照）

(2)は上からとしたからで評価します。上からの評価で(1)の式を使うことは分かると思いますが、計算した式をうまく式変形して、

を出す必要があります。そもそもこの形が必要だと認識していること、そしてこれを出すために少し強引な式変形もいるので、きつめでしょう。

上の式ですが、1/n=t と置き換えれば、t→0での指数・対数絡みのパターンに帰着出来ます。

Principle Piece 指数・対数の極限４パターンを意識せよ

（詳細は割愛。拙著シリーズ数学III 微分法１ p.47 に全部あります）

それか、平均値の定理を利用して求めることも可能。いずれにしても、tに置き換えないとかなり見にくいので、難しめ。極限を求めるとlog2－1/2となります。

下からの評価がノーヒントなところもキツイ。答えの式が2log2-1の半分なので、これが[xlogx－x]から生まれそうな式だと思うと、logxだけを被積分関数にしたいとなります。そこで、真数に相加相乗を使うという考えになりますが、こちらもかなり厳しい着想ですね。

※KATSUYAの解答時間は29:09です。上からの評価はすんなりいったが、下からの評価を思いつくのにかなりかかった。てか、上からの評価も結構ムズイと思う。

第３問【三角関数】長方形の面積の最大値（BC、35分、Lv.2）

図形絡みの三角関数の問題で、長方形の面積の最大値を求めます。図形は想像しやすいと思うのでやることは見えますが、2文字がずっと付きまとうのと、場合分けも必要で、計算をカッチリ合わせるのは結構難しいでしょう。

（１）は面積を求めます。角度θから順番に追っていけばいろんな角度が分かるので、長方形の縦と横を出しましょう。この段階では答え方は自由だと思いますが、(2)を考えると、その直前までやっておいた方がいい気もします。

(2)はその式の最大値。式を全て展開すると、sinθ、cosθの2次の項のみが現れます。この場合は2θ、1次に統一して合成ですね。

Principle Piece

sin cosの2次の項のみ → 2θに統一して合成

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ～三角関数～p.72）

式はかなり複雑ですが、第１問と同様に最初の面積(縦、横の長さ)で間違えるとほぼ全滅なので、面積の式だけでもちゃんと出したいですね。

合成したときのsin(2θ+α)が１になることがあるならその時が最大、そうでないときは別途調べないといけません。残念ながらαの値によって両方あり得るので、場合分けが必要。文字が最後までつきまとうので、なかなか精神的にキツイ計算です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間24:22。計算がウザイ＾＾；　2θ＋αは90°を取れると言い切れるんかなと期待しつつαを検証するも、残念。まあでもさせるか。させなきゃだたの式変形のお遊びしてるだけやもんなぁ。。。

☆第４問【整数】n^2+n－aが平方数になるnの個数とaの条件（BC、30分、Lv.2）

整数問題からです。東大はこのあたりに整数問題持ってくること多いですね。本問も(2)は難しめで、こちらも完答した人の割合は少ないでしょう。

(1)から気づかないと時間を食うかもしれませんが、最も簡単なやり方は、n>aのときに、n^2+n－aは2つの隣り合う自然数の2乗であるn^2とn^2+2n+1で挟まれることを言う方法です。

(2)はいくつか式変形や発想の関門があります。まず、平方数になるnの個数を聞いているので、式＝m^2とおいて、ある程度は解いていく必要があります。

その際に、問題文にある4a+1はどこから出てくるんやって思うわけです。そこで、式＝m^2を4倍してnの式の部分を平方完成すると、

(2n+1)^2－(2m)^2=4a+1

となり、左辺は2乗の差という整数解では都合のいい形(因数分解出来るから)に、右辺に4a+1が出てきました。とにかく、2乗-2乗＝定数という形を作りたいという強い意識が必要です。

この段階までクリアできると、問題文の(ii) ⇒ (i) は示せます。左辺は因数分解し、こちらの原則で候補を絞ると、(2n+1+2m,2n+1-2m)=(4a+1,1) しかないことが分かります。n=m=aのときで、ほぼ自明ですね。

Principle Piece

約数の候補を絞る典型3パターン [1]正負　[2]大小　[3]奇偶

（詳細は拙著シリーズ数学 A ～整数～p.46）

あとは(i) ⇒ (ii) ですが、これは対偶で示すのがいいでしょう。4a+1が合成数であるとき、1×4a+1以外の組み合わせがあります。それが奇数×奇数なのは分かると思いますが、もう一歩踏み込む必要があります。

奇数の中でも、4で割って1余る奇数どうし、あるいは4で割って3余る奇数どうしの積じゃないと、4a+1(4で割って1余る数)にならないということです。これに気づけばほぼ勝ち確定。

これにより、連立してｎやmを出す際に４で割っても整数として耐えることが出来ることが分かります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23:37。(1)から実はまあまあ考え込んでしまうが、上記事実に気づく。阪大の文理、京大も先に解いて、頭がもう疲れてるか＾＾；　(2)は４ａ＋１を出して、(ii)⇒(i)はさくっと終了。逆を示すには、4a+1の因数によるけど、連立して４で割ってるのにｍ，ｎが整数になる保証があるのか？あることを示すには、、、と考えて４で割った余りに着目して勝ちを確信。(１)の方が実は考え込んでいる時間長いです＾＾；

第５問【場合の数】条件を満たす１~ｎの並べ替えの総数（CD、50分、Lv.MAX）

場合の数からで、隣り合う数字を入れ替えまくって、最終的に{1,2,…,n}に並ぶような最初の配置の総数を求める問題。(２)を見ると漸化式を作る作業があるのですが、今年は原則をあてはめられる余地が微塵も見当たらず、激ムズです。特に(２)は捨て問でしょう。

(1)だけでも解きたいところ。A1やA2の小さい方は、T1の操作で必ず一番左に来ます。そこから、最後のT1の操作を施す直前までそこで待ちぼうけです。そして最後のT1で1個右にずれるか、そのままかです。その結果、{1,2,…,n}と並ぶなら、小さい方は１か２じゃないとダメですね。

(2)は捨て問級。(1)を使うのでしょうが、どこでcn-1やcn-2が出てくるのかが見えにくいです。1,2,…,nでなくとも、異なるn個の数字が昇順に並ぶような総数がcnだと少し言い換えることで少し希望の光が見えます。

A1とA2が１，２の場合やそれ以外の場合などで分けて上の事実を使うことでそれとなく答えは出せますが、議論をちゃんと行うのはしんどいと思います。答えだけでも合わせればもう御の字でしょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は残り時間全てです。(2)をいったん途中で捨てました。第６問まで解き終えてから戻ってきて、残り時間のすべてをかけて(2)の途中まで書いてタイムアップでした。今年は受験生にはかなりキツイと思う。逃げ道があまりにも少ない。

第６問【複素数平面＋図形と方程式＋式と曲線など】反転操作による軌跡の変化など（C、35分、Lv.2）

最後は数C(複素数平面、式と曲線)総合問題って感じです。円の軌跡を反転させたり、それを2乗したり、それをまた反転させたりという感じでいろいろ聞いてきます。聞けること全部盛り込んだって感じで、もんだいとしては全然悪くないですが、手を付ける余裕はなかったことでしょう。

(１)はこちらの原則を使って、1/z=wとして、z=1/wにしてｚの条件式に代入すればOK。ｚのままにしておくのが一番ラクですね。

Principle Piece

連動系w=f(z)の軌跡は z=…に直して条件式に入れる

（詳細は拙著シリーズ数学 B・C ～複素数平面～p.46）

あるいは、原点を通る円の場合、うまく極形式に出来ます。こちらも拙著に載ってます。(拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～複素数平面～』p.54～55あたりの変形がヒントになります)

サイアクどちらも思いつかなければ、x+yiとおいて、xyに関する式に直します。それでも出来ますので、(1)はおさえたいです。

(2)は(1)が出来れば、時間さえあればいけるはず。(1)から、1/α=1+si、1/β=1+ti などとおけます。(s,tは異なる実数)

これで2乗和を計算すると、実部も虚部もs,tに関する対称式になりますので、こちらの原則を用います。

Principle Piece

対称式絡みの領域は基本対称式を主役に　ただし「暗黙の実数解条件」に注意

（詳細は拙著シリーズ数学 B・C ～複素数平面～p.46）

今回はｓ，ｔに特に制限が無いので、原則にある「暗黙の実数解条件」だけが条件になります。ｓ、ｔは異なるので、境界線を含みません。

(3)は(2)の領域外にある点をまた反転させたときに、実部の最大値と最小値ですが、これは結構難しいと思います。

有名事実として、(2)で得た領域の境界線(放物線)上の複素数平面を反転させると、軌跡がカージオイドになること(すなわち、(3)の領域を反転させると、絶対値の大きさからカージオイドの周および内部になる)を知っていると、そのカージオイド上のｘ座標の最大値、最小値なんだなと見通しが立ちますが、さすがに現実的ではなさそう。

なので、私も一応そのやり方は避けて、素直に成分で置いて、実部x/x^2+y^2がｋとなることがあるかどうかということで、これが表す図形(ｋ≠0なら円)と領域が共有点を持つ条件として求める方針としました。円と放物線の共有点条件に帰着されます。放物線の向きは違いますが、分野的には数Ⅱですね。

数Ｃをがっつり使うのなら、(2)の境界線の放物線は焦点が原点にあります。焦点が原点にある2次曲線は、極方程式表示と非常に相性がいいので、それを用いる方法です。

そうすると反転したときの実部の式が、ただのcosθの2次式になりますので、最大値も最小値も簡単に出せます。ただし、境界線上で最大や最小が起こりうることを説明する必要があるでしょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23:12。複素数平面っぽいことをしたのは最初だけ。あとは数Ⅱと数Cの座標問題って感じ。(3)はカージオイドやねんけど、、、まあ使うのは辞めるとして、どうやってやるかな。。。成分で置いて共有点条件にするかな。やることが最後まで多くてキツイ。とか言ってられん。第5問に戻ろう。