東京大学 理系数学 講評| 2024年大学入試数学
●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。
2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、２０２４年 大学入試数学評価をやっていきます。
２０２４年大学入試（国公立）シリーズ
東京大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。
自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。
★お知らせ★
Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
講評は動画でも紹介していますので、お好きな方でご覧ください。
東京大学 理系数学
（試験時間150分、6問、記述式）
目次
１．全体総評～厳しさはほぼ横ばい。依然高止まり～
昨年に比べると少しマシになったかなと思いますが、それでも厳しいセットであることに変わりありません。
第1問、第2問、第4問など、道筋が見えやすい問題もありますが、やはり計算量も多め。第3問や第5問も東大お決まりのパターンですが、どちらも差がつくでしょう。
今年も、言うは易く行うは難しという感じですが、去年よりは完遂しやすいでしょう。私が時間内に終わったということも理由の1つですね。去年は6番でタイムアップ・・・
分野的には、東大頻出の微積分、空間では2題(今年もベクトルと体積)、関数。そして確率と漸化式、整数が舞い戻ってきました。複素数平面は3年連続で出題されていません。
試験時間150分に対し、標準回答時間は195分
2023年:205分以上(第6問を捨てれば145分)
2022年：205分
2021年：205分
2020年：210分
2019年：210分
2018年：195分
2017年：165分
2016年：205分
2015年：215分
2014年：205分
2013年：205分
2012年：205分
2011年：195分
2010年：200分
２．合格ライン
第１問は東大理系ならさすがに落とせない。方針に迷うこともなく、計算量も相対的に少なめ。
第２問も出来れば欲しいが、第1問ほどではないかも。最初にまともに積分せず、まず微分しようと思えたかどうか。そこさえ超えれば、あとは計算。
第３問はキー問題。東大の大好きな確率と漸化式です。レベルは高めです。私のYouTubeチャンネルとかでご覧になっており、原則を強く意識していれば対応できたかも。(教え子は出来たと得意げでした。自分が解けるより嬉しい＾＾)
第４問も問題文に素直に従うだけなので、方針に迷うことはないと思われます。ただ、計算が繁雑。ミスってるん茶うかと思うような係数でツライ。他でダメならここで頑張る。
第５問はキー問題。東大の大好きな立体です。立体の問題としては易しめ(あ、東大基準です)。1/2以外に、1/3の境目が発生することに気づけたかどうか。
第６問は昨年ほどの大物ではないですが、(２)は厳しいと思います。時間的にも(１)までやり、(２)はムリそうだと思ったら他を見直すべきでした。
理I、理II：今年はなんとか３完分ぐらい欲しいかなぁって感じです。６０点強ぐらいでしょうか。 理III：さらにプラス１完分で85点ぐらいですかね。
３．各問の難易度
☆第１問【空間座標】条件を満たす点の存在範囲（B,20分、Lv.2）
今年は最初は比較的ラクな問題でした。昨年もそうでしたが、今年の第１問の方がラク。条件を満たす点Pの存在範囲を図示する問題です。
座標で与えられていますし、空間ベクトルを用いる問題だと見抜けるでしょう。空間でなす角は基本的に内積から導かれる公式にあてはめるのがラク。
あとはP(x,y,0)って置いて変形していくだけ。 途中、ルートを外すために2乗しますが、そのときの注意事項だけ確認しておきましょう。
拙著でも、まさにベクトルのなす角の方程式のときに紹介している超根本的な原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学B 平面ベクトル p.23 参照）
これにさえ注意すれば計算はそこまで繁雑ではなく、領域は書けるでしょう。
KATSUYAの解答時間は13:55です。今年は最初はまマシや～。
☆第２問【微積分総合】絶対値付き定積分関数（B、25分、Lv.2）
第2問は絶対値付き定積分関数の問題です。個人的には適度な難易度の問題だと思います。東大理系であれば解きたいですが。
絶対値付き定積分の問題は、まずこちらの原則ですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 積分法(数式編) p.58 参照 もちろん数IIの積分でも紹介してます）
今回は中身＝０となるｔ＝ｘ、区間は０～１、でｘも０～１なので、ｘで分けることは確定です。場合分けなしということで、これだけでもかなりラク。
なので、まずわけます。その際にもう一つの大事な原則がありますね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 積分法(数式編) p.52 ）
これで準備完了。さあ積分しよう、、、となりますが、東大受験生ならこれが積分困難なタイプだと見抜きたい。x=tanθへの置換タイプです。この場合、区間が有名角のtanの値などでないと、表すのが難しいですね。
よって、このまま微分するわけです。これに気づけば本問は勝ちだと思います。ｘを前に出している項では、積の微分を用います。
それから、(1)にあるように、x=tanαを入れて、このときに置換するとスッキリ出ますね。
(2)は(1)が出れば出ます。この聞き方からしても、有名角やその半分などの角度なのだろうと予想はつきます。
(3)は(1)のtanαで最小値になります。最小値の計算はちょっと長いですが、ここまで来たら正解したい。最大値はｘ＝０とｘ＝１のときのどちらかですが、問題文の不等式を利用すればこちらも簡単に出ます。
※なお、π＞３は前提として私は解答しています。細かく与えられていないときは、整数ではさむ分にはいいかなと思っています。３＜π＜４、２＜ｅ＜３など。無理そうならもっと細かくしちゃってもいいと思います。
※KATSUYAの解答時間は19:09です。最小値のときの計算でミスが発覚したのでロスしましたが、それでも貯金かな。
☆第３問【確率＋数列】確率と漸化式（C、40分、Lv.2）
帰ってきました。東大の確率と漸化式の問題。しばらく出ていなかったような印象ですが、今年はがっつりです。レベルは比較的高めで、誘導も見ながら、しっかり原則を意識していないとキツイ問題です。
（１）は答えだけなので、(２，１)からいろいろ移してみると分かるでしょう。
（２）は（３）への大きなヒントになっています。まず、奇数秒後に到達する子がないことに気づくこと。移動させてみれば気づくと思います。
すると、偶数秒後に到達する際に、奇数秒後の点からの移動の仕方からして、確率が全く同じになることに気づけるでしょう。
(3)からガッツリ原則を使います。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C～数列～p.78）
今回は、2点まとめておきます。(2)から、それを２で割ればいいので。その際、他の部分も文字でおくんですが、1つ1つおくんではなく、同じように原点対称な点をまとめておけば、状態は4つで済みます。
さらに、偶数秒後と奇数秒後で状態は分かれますので、結局ｎ秒後からn+2秒後に遷移するときを考えると、設定する文字はあと1つで済みます。
漸化式はいつも通りの4型になります。(動画の方が分かりやすいかも) 原則をこれでもかと活用することで、単純な漸化式に帰着されるという意味では、本当によく練ったなぁと思います。さすが東大の問題って感じですね。
本問は解説動画も出しています。これを2024年良問BEST１位としました！！
ぜひご覧になってみて下さい。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間24:47。解く前に、「確率と漸化式解けた！原則めっちゃつかった！」って教え子から言われたので、出題があったことは知っていました。しかし、問題を解き終わった後に「これが解けたんか」と思いました。単純に嬉しい。自分が解けることより何倍も嬉しいですね。
第４問【図形と方程式＋微分】放物線と円、方程式の解の個数（B、30分、Lv.2）
数Ⅱ総合問題という感じです。放物線と円が共通接線を持つことから、円の中心や半径を特定します。文系でも放物線と円出てましたね。あくまで数Ⅱなのでやることはそんなに難しくないのですが、計算はメンドウ。昨年の第3問みたいな感じですが、それよりはマシなぐらい。
(1)は言われた通り、接線が共通なので、その放物線の法線上に円の中心があります。法線の式を求め、x軸との交点がc(t)ですね。半径の2乗は中心が出れば、接点との距離の2乗です。
(2)もほぼそのまま。(1)もありますし、もちろん点(3,a)と中心との距離の2乗＝r(t)^2とします。ちょっと計算メンドウですね。思ったより項も残り、がっつり4次方程式です。
定数だけ分離出来ますので、視覚化しましょう。これは分かりやすい。 4次式は係数もうっとうしいですが、微分した式は因数分解キレイにできますので、増減をカリカリ計算すれば出るでしょう。
aの範囲には注意。t=3の極値のところまで取ります。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間21:33。(2)では、偶数次だけ残るパターンかと期待したものの、思ったよりガッツリ残る。え？どっか間違えたかな？と思い、いったん法線の傾きが１になるようなｔで検算するも、たぶんあってる。まじか～と思いながら微分し、因数分解出来たので多分あってるだろうと進めました。
☆第５問【空間図形と体積】三角形のx軸まわりの回転体の体積（BC、30分、Lv.2）
第５問は東大の大好きな空間図形と体積です。といっても、去年の6番のような超大物級ではありません。むしろ、東大の立体の問題としては易しめ。
今回は回転対象の三角形を含む平面内に回転軸がないパターンです。私はｚ軸回転パターンと呼んでいます。その場合が多いので。
こういうタイプの場合は、完成した立体が想像しにくいです。なんで、先に切るんでしたね。
（詳細は拙著シリーズ 数学III 積分法(グラフ編) p.68）
今回はx軸回転なのでｘ＝ｔで切ります。Dのｘ座標1/2が境目になることは分かりやすいでしょう。また、1/2~１のときは比較的様子もつかみやすいです。線分の回転体は基本的にドーナツ型です。最遠点と最近点が半径の同心円の間ですね。
ただ、東大がこれで終わるはずもなく、0~1/2でもさらに分かれます。これに気づければ本問は勝ち確。最遠点は変わらないんですが、最近点が垂線の足でなくなるタイミングがあります。その境目がt=1/3になるわけですね。
あとは各場合で断面積を計算し、積分するだけ。積分の式は結局１／２前後では同じになります。ただ、場合分けは３つ必要。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は19：12です。お？場合分け２つ？立体の設定もシンプルやし、東大にしては簡単か？と思ったらやっぱりもう１個ありましたね。ｔ＝０に近いものと、０．５に近いものを両方書いて分かりました。図を書くのは大事。
第６問【整数】多項式が整数になるｎの条件（CD、50分、Lv.3）
最後は整数です。整数も今年は返ってきました。最後に持ってくるのは珍しい気がしますが、最後らしい難易度でした。これが一番メンドウだと、個人的には思います。(２)は捨てても大丈夫でしょう。
(１)はいいでしょう。ワークにもありそうな問題です。因数分解出来るので、どちらかが１、－１になる４パターンを探します。
(２)は係数が一般化されていますが、多くても満たすものが３個だと言っています。MAXで６つ出てくるところが３つまで絞れるというところも難しいですし、何から手をつけていいか迷ったと思います。私もかなり時間使いました。
結局、２次方程式によって解が２つある場合については、同時起こり得ないことをまず示します。これで、MAX４つです。
あとは、４つ全部満たすとしたら、そんな素数やａ，ｂはないと言えればＯＫ。似たような式変形を繰り返すだけで示せるのですが(動画も参照してみてください)、受験生が時間内にそこにたどり着くのは至難の業だと思います。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間37:12。(２)で２次方程式を同時に満たすことはないと判断するまでにまず結構かかった。あとは方程式並べて辺々引くみたいな作業だけで済むので計算はそんなに多くない。逆に数値が無いので、受験生の出来はかなり悪いと思いますね。
４．対策
東大の頻出４分野である確率、整数、微積(空間系あり)、複素数平面です。
今年は整数、複素数平面が出ませんでしたが、引き続き確率、整数、微積、複素数平面の対策は重点的に行ったほうがいいです。
分野的にはかなりバランスがとれているので、頻出分野以外にも苦手な部分がないように、演習量を積んでおく必要があります。
原則習得はもちろんのこと、その次の入試基礎演習までをなるべく早く終わらせ、入試標準演習も数多くこなしつつ、質の高い問題演習は解説や別解の研究もして、本質的な理解と幅広い視点を養うことが求められます。
なお、拙著「Principle Pieceシリーズ」は「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を一気に学習できますので、この後にもう入試標準演習に入れます。
今年、去年のレベルでの対策をとっておけばかなり万全でしょう。早い段階で、解かなくてもいいので数年分見て、難易度（到達しなければならないレベル）を肌で感じておきましょう。
お尋ね者の大学なので、対策本もばっちりあります。東大の数学は良問が多く、解法研究の格好の的にされていますので、過去問もなるべく長年分入手して演習しておきましょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学A Chapter２～確率～ (第３問)
数学II Chapter２～複素数と方程式～ (第５問)
数学II Chapter３～図形と式～ (第４問)
数学II Chapter６～微分法～ (第４問)
数学B・C Chapter1～数列～ (第３問)
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第１問、第５問)
数学III Chapter５～積分法(数式編)～ (第２問)
数学III Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第５問)
計算０．９ (計算練習帳です＾＾)
∫calc. (理系の微積分の計算練習帳です＾＾)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
※2023年末時点で販売中のもののみ記載しています。最新販売情報はこちらからどうぞ＾＾
■他年度の、本大学の入試数学■
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Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
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