数学に限らずですが、0と1の差はとても大きいです
0か1か、あるかないか、というのは常に大きな問題であり
実質0か1を使用するBOOL代数なんていう分野もあるほどです
0と1の差は数における特異点といってよいでしょう
それに負けないくらい重要な点が1と2の差です
0と1の差は重要かつわかりやすいのでいいのですが
1と2の差は重要なわりにきわめて見つけにくいのが特徴です
0と1はあるかかないかですが、
1と2は、特徴が劇的に変化します
例を出しましょう。
「私は世界一身長が高くで、かつ世界一身長が低いです」
というのは常識的にはおかしい文に見えますが、
世界に人間が私一人しかいないのであれば成立します。
二人以上存在するのであればこれは間違った文になります
もう一ついきましょう。4を含む集合を考えます
a={4}
b={4,2}
c={4,99,789,44686}
d={4,0}
e={4,55555555}
「この集合は4である」もしくは、「集合内の全ての要素は4である」
に対して要素数が1個であるaは真を返しますが、それ以外の全ては偽を返します
これは私の知るどんな集合でも同じです
2以上の集合では偽だが、1個になったとたん真になる命題が必ず存在します
(そしてそれは、「集合の要素は全てXである」です)
必ずといえる根拠は集合論というより符号論にあります。
2個以上の要素ということは、そこには必ず"違い”があります
XY座標、時間、色、形。何かが違うからそれら2個が違うものと認識できるのです。
1個になるとその条件がある1種類で満たされてしまうので、"全て"という概念が変化してしまうのです
少なくとも成立可能な順序を持つ集合については、以下の命題は1個のとき真、2個以上のときは偽です
「全ての要素は"最初の要素と同じ"である」
例えば「集合から2を取り除く」という操作により、「この集合は全て4である」が偽から真になることがあるということです(上記例b)
「集合から2を取り除く」という操作により集合の大きさが1減るという結果を生むのは非常に直感的でわかりやすいです。
しかし、この操作により「この集合は全て4である」が偽から真に変化するのは一見無関係、非直感的であって非常にわかりにくいです
それだけに、「この集合の特徴はAです」といわれたとき、一見無関係な集合操作が鍵を握っている可能性があります
あくまで思考実験としてお考えください。
自然数の最大値が9であるとします。
これは仮定でも命題でもなく、
公理レベルで恒真であるとして考えてみてください。
その上で最大の自然数9に1をたすとどうなるのが正しいと思いますか？
私は次の6つの手段を思いつきました
1.0に戻る(9,0,1,2,3...)
2.9のままカンストする(9,9,9,9,9...)
3.解なしとなる(999,解なし,解なし,解なし,解なし...)
4.式が不正となる(9,無効な式,無効な式,無効な式,無効な式...)
5.数の概念が拡張される(9,10(非自然数),11(非自然数),12(非自然数)...)
6.ランダム値になる
1.はソフトウエアではよくある実装です。9までいったら0に戻ってループするというのは意外と使い勝手がよいです。
2.は昔のゲームでよくありましたね。99999点までいくと、敵を倒してもアイテムをとっても99999点のままといった感じです。
3.は数学でも出てきますね。解がないエラーです。
4.は数学ではあまりなじみがないかもしれませんがソフトウエアでは普通の実装です。入力値のエラーです。
5.はあえていうなら定義のバグですね。
6.は要は「未定義」なんだから何が起こっても不思議じゃないってことです。
どれが一番もっともらしいかを考えるに、
一つ、無限の特徴を出してみます。
無限は1を足しても無限を足しても、無限であるという考えがあります。
∞+1＝∞
∞+∞＝∞
これ、無限の特徴として他にないものであるといわれることもあるんですが
上記1.～6.のうち、似たような特徴を持つものがありますよね。
つまり以下が成り立つものが存在します。
9+1＝9
9+9=9
意外と普通の特徴なのかもしれませんよ！
犬と動物、どちらが多いと思いますか？
動物、と答えたあなた！
あなたはとても素直で正しいです
だって犬は動物ですからね♪
犬じゃない動物、例えばゾウや猿がいることを考えれば動物のほうが多いというのは当たり前です
同じ数だよ、と答えたあなた！
あなたは鋭いですねぇ
テーマが自然数と無限と置いている以上、
きっと犬も動物も同じ数だとそういう結論だな、と。
そうですね、普通ならそういう話にもっていくでしょう。
でも私はトンデモさんなので。
犬と動物を比べたら、犬のほうが多い(時がある)よ！
と主張します。
Googleさんに聞いてください
"犬"で検索すると、約 418,000,000 件見つかりました
"動物"で検索すると、約 330,000,000 件見つかりました
犬のほうが多いですよね？
納得いかない？実際今は違うのかもしれませんね..
ではこうしましょう
"犬"で検索すると、約 418,000,000 件見つかりました
"犬" AND "動物"で検索すると、約 18,100,000 件見つかりました
これなら間違いなく"犬"よりも"犬" "動物"のほうが少なくなるでしょう。
何をしているかというと、まず"犬"の集合を見つけます
その後に絞り込み検索で"動物"を探せば動物より犬のほうが多くなりますよね、ということです
最悪でも同数です。
これはどんなときでもそうです
まずAで検索し、その検索結果に対してBで絞込み検索をすればA>=Bとなります
逆にBで検索し、その検索結果に対してAで絞込み検索をすればA<=Bとなります
犬と動物の例で見ても、あなたはこんな感じの集合をイメージしたと思います
動物={ゾウ、猿、犬、猫...}
これだと犬は動物の一要素でしかありません
でもこれだとどうでしょう
犬={キーホルダー、漢字、動物、写真...}
これなら動物は犬の一要素でしかありません
これは図で見たほうがわかりやすいですね
枠の取り方によって、どちらが多いかなんて簡単にひっくり返ります
そして厄介なことにこの枠というのは、「自明だから省略」されやすいんですよね...
私は最大の自然数が存在すると思っています。
「最大の自然数」が理解できない方は多いと思うので
まず「最小の自然数」を考えてみましょうか
最小の自然数が存在しない証明(もちろん間違ってます)
------------------------------------
#1 最小の自然数をXと仮定します
#2 自然数から1を引いたものはもとの数よりも小さい
#3 これを適用すると
#4 X > X-1
#5 式(#4)よりXより小さな数X-1が存在する
#6 X-1は自然数である
#7 よって、最初の仮定「最小の自然数をXとおく」ことが間違っており、
#8 最小の自然数は存在しない
------------------------------------
どこがどのように間違っているかわかりますか？
#2か#6を間違いとするのが一般的でしょうか。
0のときに1を引くと、-1になりますよね。
-1は自然数ではないです。
議論を自然数に限定すれば、0から1を引くという式が不正です。
0のときに1を引いても解が自然数とは限らないなら、#6が間違いとなります。
0のときに1を引くことを未定義とすると、#2が間違いとなります。
では同じように最大の自然数が存在しない証明を考えてみます。
------------------------------------
@1 最大の自然数をMと仮定します
@2 自然数から1を足したものはもとの数よりも大きい
@3 これを適用すると
@4 M < M+1
@5 式(@4)よりMより大きな数M+1が存在する
@6 M+1は自然数である
@7 よって、最初の仮定「最大の自然数をMとおく」ことが間違っており、
@8 最大の自然数は存在しない
------------------------------------
最小の自然数の場合、#2か#6が間違いでした。
最大の自然数の場合、＠2と＠6はどうでしょうか。
Mのときに1を足せないとすると、@2が間違いとなります。
Mのときに1を足すことは出来るけど解が自然数とは限らないなら、@6が間違いとなります。
Mのときに1を足すことが出来、解が自然数であれば間違いが存在せず背理法成立です。
私は＠6が間違っていると思うんです。
数学では@6が正しいことの根拠として無限公理があります。
でも私は無限公理が真だとしても@6はマチガッテイルと思うんです。
無限ホテルは次のようなお話です。
客室が無限にあるホテルを考える。
現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。
しかし「無限ホテル」ではそうはならない。
無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。
客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、
2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。
客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。新たな客は1号室に泊めればよい。
無限って不思議ですよね。
でもこれ無限を使わなくても簡単に説明する方法があります。
まず無限ホテルでやったことを箇条書きでまとめなおしてみます。
1.満室であることを確かめる。(部屋と客が1対1対応していることを確かめる)
2.全ての客にずれてもらう
3.1号室に新しい客をいれる。
4.満室であることを確かめる。(部屋と客が1対1対応していることを確かめる)
重要なポイントをいくつか挙げていきますね。
・普通なら客が増える前と増えた後の「客の数」を比較すると思うんですよね。
でもここでは「満室であるかどうか」を確認しています。
同じことをしているようでまるで別のことをしています。
客の数を「数えなおしてる」んです。ここが重要ですよ。
・あぶれることはないというのは当然の推論ですが実は結構あやふやです。
きっとあぶれていないだろうという予測により、あぶれていないことを調べていません。
客室のほうが多いことを示せれば、確実にあぶれていないことの証明になります。
でも客室と同数というのはあぶれていないことの証明としてはちょっと弱いんですよね。
無限ではなくカンストという仕組みによって無限ホテルを再現してみましょう。
実はここのホテルの支配人は9までしか数えることの出来ないんです。
1,2,3,4,5,6,7,8,9(いっぱい),9(いっぱい),9(いっぱい),9(いっぱい),9(いっぱい),...
というかんじで、9以上の数は全部9だと思っちゃうんです。
1.支配人は満室であることを確かめます。
部屋は9部屋、客も9人です。
2.全ての客にずれてもらうよう客に指示を出します(新しい部屋に入れたかどうかは確認しません)。
部屋は9部屋(0-9)、客は9人(1-9、ひとりあぶれます)です。
3.1号室に新しい客をいれます。
4.支配人は満室であることを確かめます。
部屋は9部屋、客も9人(本当は10人ですが9人までしか数えられないので全部で9人と判定します)です。
支配人は、満室で部屋の数と客の数が同じだからあぶれてもいないし全てうまくいったと勘違いします。
1,2,3,4を全てクリアしましたね、ぜんぜん不思議じゃないです。
無限ホテルはカンストじゃないぞ、って説明できますか？
前回のこのカテゴリでは、式と式じゃないものについてでした。
あなたの考えはまとまりましたか？
前回はかなり滅茶苦茶な例だったので
もう少し身近な例で掘り下げます
小学生のときを思い出してください
足し算、引き算習いましたよね？
1+5=6
9-7=2
等など。
ではそのときに次の式の答えは何でしょうか？(負数は中学からとします。)
1-5=
答えは解なしです
では中学校。虚数を習う前のあなたに次の二次方程式が解けますか？
x^2=-3
x=
答えはもちろん解なしです。
これはもしかすると日本語のみかもしれませんが「解なし」です
つまり、式は存在するのです
自然数の世界において(1-5)という式は存在するし
実数の世界においてx^2=-3という式もまた存在します
だから自然数の世界において「全ての引き算の式」という集合を考えれば
当然その中には(1-5)が含まれています
そうでないというのであれば、(1-5)は解なしではなく、不正な式と呼ぶべきです。
解なしと呼ぶ以上、(1-5)はこの世界に正しく存在するのでしょう。
ここで自然数の引き算について解の集合と式の集合を考えます
解の集合は実質的に自然数と同等になるでしょう
式の集合は有理数を知るあなたから見ると、実質的に整数と同じ範囲になるでしょう
式と解では異なるルールが適用されていると思いませんか？
自然数と限定したにもかかわらず、引き算を考えると
(自然数のまま)実質整数と同等のものが正しく「存在」しているというのは面白くないですか？
ブランドの時計とかカバンとか高いですよねぇ..
そういったブランドのニセモノ見たことありますか？
この前機会があって写真でニセモノ見せてもらったんですけど
違いとかわからないです。
私には全く同じように見えてしまったので、気をつけないとなぁと思いました
ではここで右手に一つ財布を持ち
左手にも一つ財布を持ちます
それらの財布を見比べて、本物かニセモノか、同じかどうかを
調べることは出来ると思います
それが正しいかどうかは置いておいて、あなたは調べることが可能です
あなたのきちんとした調査により
それらは本物で全く同じものと判明しました
ここで一つ質問をします
それら二つの財布は同じものですか？
①調査の結果同じ本物であることは判明したので、二つの財布は同じものです、
②あなたは右手と左手で別々の財布を持っていました。
それを「二つ」と認識していることから明らかなように
それぞれ別々のものと認識している以上二つの財布は同じものではありません
①②どちらも正しいですよね？
「二つの財布は同じもの」という一つの命題に対し、真と偽の両方が成立してしまいました
真と偽の両方が成立ということを一般に「矛盾」と呼びます
二つの財布は同じものというのは矛盾していませんか？
前回の10についてはどう思いましたか？
私の答えはもちろん、自然数を使った無限進数の全符号の数は「10個」だと思ってますよ！
それはすなわち自然数の総数は「10個」だということです。
それに同意してしまったらあなたも異端者の仲間入りです(笑
無限個とは要は「10個」である、というのは
私がもつネタの中で最もインパクトのあるお話しなので
すごい！と思ってもらえれば嬉しいです
この考え自体はオリジナルなのですが、他の人の論文を調べたりはしていないため本当にオリジナルかどうかはわかりません。
もし史上初なら数学史に残るレベルかも(笑
前回の質問の答え、全ての自然数の個数は10個(無限進数)であるというのが
正しいとしましょう。
そうすると何が言えるかというと...、
自然数の総数は10個である。つまり
10＝ω(可算無限個)
です。
また10-1は「最大の自然数」です。
となれば「最大の自然数」より大きい10は自然数ではありません。
..最大の自然数が存在するとか10が自然数ではないとか急に信憑性を失いましたよね。
でもそれは私が10未満と10以上を明確に区別しているのに対し
あなたはそうではからじゃないかと思います。
なので名前をつけます。
単桁数＝10未満の数、つまり一桁で表すことの出来る数
多桁数＝10以上の数、つまり二桁以上の数
この用語を使って先ほどの文を書き直してみます。
10-1は「最大の単桁数」です。
となれば「最大の単桁数」より大きい10は単桁数ではありません。(なぜなら10は多桁だから)
実に自然です。
もし全ての自然数が単桁数なら当然10は自然数ではないし
10-1は最大の自然数となるでしょう。
私はどんな自然数でも単桁数で表すことが出来ると思っています。
自然数の定義に多桁数でなければいけないという条件はないですからね。
単桁数でなければいけないという条件もないのですが。
あなたはどんな自然数でも単桁数で表すことが出来ると思いますか?
アキレスと亀というお話をご存知でしょうか？
こんなお話です
------------------
俊足に定評のあるギリシャ神話の英雄アキレスが、のろまな亀を追いかける事になった。
さて、アキレスが亀に追いつくためにはまずアキレスが亀の出発点まで到達しなければならないのだが、
アキレスが亀の出発点に着いた時には亀はもっと先の地点にいる。
そしてアキレスがその亀のいた地点に到達した時には、亀はまた先に進んでさらに先の地点にいる。（以下、無限ループ）
従ってアキレスはどれだけ速く走っても亀には永久に追いつけないし、
亀はどれだけ遅くても休まずに進み続ける事で永久に追いつかれない。
-------------------
現実には亀においつくのなんて簡単なのに、
永久に追いつけないとか、不思議だね～
と思いますか？
ここでは、アキレスと亀のお話は全く不思議でもなんでもなくて
現実的にも亀に追いつくのは不可能だっていう簡単な説明をします。
重要なのは、「追いつく」のと、「追い抜く」のは全く別だっていうことです。
亀を追い抜くのは本当に簡単なんですよ。
私だって出来ますし。アキレスさんなら軽々と追い抜いていくでしょう。
でも追いつくのは無理です。
完全にぴっっっっったり同じ場所にいるのが「追いつく」ってことです
「追い抜いたんだから多分追いついたんだろう」ではダメです。
追いついた瞬間を認識しなければ認められません
1mmの誤差も許されないし、0.0001μmの誤差でもダメ。
亀と協力してもよいですよ？
なんなら亀は止まっててもよいし、行き過ぎたら戻ってもよいです。
いくら時間をかけてもよいし、何度やり直してもいいです。
完全に誤差0で「追いつく」ことはできますか？
現実的には不可能です。
私にもできないし、あなたにもアキレスにも無理です。
多分永遠の時間があっても無理でしょうね
アキレスと亀の話とは違うって？
いやいやアキレスと亀の話もだんだん距離を縮めて「ぴったり」の精度を上げるって話ですから。
追い抜くのは簡単だけど、追いつくのは不可能って思うと
最初にあった不思議さは消えませんか？
それであれば嬉しいです
自然数の公理系と一般的な四則演算、一般的な数字/記号の表記を採用します。
要は、普通の自然数に対応した数学の世界です
以下の4つの文は「おかしい」です。それを踏まえて質問について考えてください
1. iojqfafaf:jo_zj （完全に無意味な文）
2. 4+1=4//1 （文法らしきものは存在するが、使い方が正しくない）
3. 4+1=AAA (右辺が認識できない記号AAA)
4. 4+1=7 (文法は正しいが、解が正しくない)
質問
Q1
1～4の文は、この公理系(普通の自然数の世界)において、式として「存在」しますか？
Q2
「左辺が 4+1 であるもの」という集合を作った時、
1～4はそれぞれこの集合に含まれますか？
Q3
1～4それぞれにおいて、真か偽か？という問いにどう答えますか？