おはようございます。こんにちは。こんばんは。おやすみなさい。
もりひーです。
またしても「一週間」の野郎がやってきやがりました。
毎週月曜日、帰宅後にテレビで雑学王という番組がやっているのを見ると、
時が経つ速さにげんなりしてしまいます＾＾；
同時に、少しずつ暑くなっていく日々を過ごしていると、
受験生の方々にとっての「天王山」といわれる夏の足音が聞こえてくるようです。
それでは本日は一橋大学2011年、前期の問題。
ちなみに今年は震災の影響で後期日程がセンターの結果と内申書のみによるという、
前代未聞な判定方法になりました。
前期のミスを巻き返そうと意気込んでいた受験生には少し肩すかしにさせてしまったかもしれませんね。
Ⅰ、整数
Ⅱ、図形の計量（最大・最小）
Ⅲ、関数の面積
Ⅳ、立体図形と不等式証明
Ⅴ、確率
以上５問に対して１２０分の試験時間です。
実は、ずるいと言われるかもしれませんが過去に（３カ月くらい前かな）一通り解いたことがありますｗ
そのうえで初見の難易度の印象としては、（易）Ⅴ＜Ⅳ≦Ⅲ＜Ⅱ＜Ⅰ（難）といった感じですね。
そして２回目にも関わらず、ミスなどもあり一問も完答できませんでしたorz
一問ずつ見ていきましょう。
Ⅲ、関数の面積
三次関数と、ある点を通る直線とを用いた問題。
(1)で問われている条件が少し特殊ですが、きちんと言われた通りの状況を、
具体的にグラフに描いてみるということを通して考えればさほど難しくはないです。
ちなみに僕は点Aにおいて接する時以外全ておｋ、と範囲を出してしまいました。
勘違い乙ですね。
問題文を読むときに自分なりに整理して概要を短くまとめて考え、処理していく工程が必要ですが、
短くまとめる際に自分の解釈や誤解が入り込まないようにしなければなりません。
この問題の場合、普通の問題のように考えると点Qが点Aよりも右側にあっても、
ぱっと見おかしくなさそうに感じてしまいますが、線分AP上に点Qがこなければならない
ことを考えると、不適であることがわかります。
(2)は(1)の条件下での面積の最小値を求めるもの。
S1,S2ともにやや計算が煩雑になりますが、この程度でめげてはいけません。
また図形のパズルのように考えることで少しだけ簡単に計算をすることができます。
どの問題でもそうですが、完答が見えてきたら他の問題にかける時間を少し削ってでも
検算を二重三重にでもしましょう。絶対に計算ミスがあってはなりません。
Ⅴ、確率
2011年度の数学の問題は、どれも比較的とっつきにくそうな見た目をしているなか、
唯一確率だけはなんとしてでも完答しなきゃいけない難易度でした。
サイコロの目によって次の試行が明確に決まっているという、試行自体はわかりやすい問題です。
(1)について、すぐに想起しなければいけないのは、
AnとAn-1との関係の式を立式すること。
今回のように、６の目が出たときなどに意図せずして試行が終わってしまうタイプのものは、
n=1～ｎをまとめて考えてしまうと様々な場合分けが必要となってしまってとても面倒です。
そこで漸化式を立式し、処理することを発想します。
（もちろん簡単な漸化式の処理の仕方は習熟する必要があります。これを機におさらいしましょう）
また、簡単な問題であればAn-１に対しそれ以外の確率を（１-Aｎ-１）と表すことができますが、
今回は「６が出た際に試行が終わってしまう」確率を考慮しなければならず、上記で表せません。
そこで便宜上「ｎ回目にBが投げる確率をBn」とおいてあげることで
方程式を二つ立式できますね。（僕はこれに気づくまで10分かかりましたｗ）
Aが投げる場合もBが投げる場合も同様の式になる（対称性）ため係数も同じになります。
つまり、Aｎ+Bn、Aｎ-Bnの式を出してあげることであとは簡単にBnを消すことができますね。
(2)は(1)で出したAnの意味をわかっていれば10秒もあれば解ける問題ｗ
(3)は(2)で出た値に対して∑計算を行うだけで、等比数列の和の公式をしっかり覚えていれば問題なし。
難関大における確率の問題で、漸化式の処理を行う問題は頻出なので、
しっかりと様々なパターンに対応できるようにしておきましょう。あと検算は本当に大事です。
Ⅳ、立体図形と不等式証明
無条件３次元アレルギーの僕としては、ｚ軸に関する情報が出てきた時点で基本的に嫌気がさします←
ただ、この問題はぱっと見そうなだけで、実際に描くと簡単な三角すいに関する問題なだけだとわかります。
(1)に関しては特にコメントすることはありません。確実に解きましょう。
(2)について、それぞれのSを立式すること自体は全然難しくはありません。
その後のルート付きの式の大小比較ですが、方法としては
①ルートの中身で比較 ②両辺正なので２乗して比較 があると思います。
その後の処理として、
a,b,cをそのままで扱うと少し文字が多すぎて面倒なうえに途中でどう扱うかが見えにくくなってしまいます。
ポイントは、x~2+ｙ~2+ｚ~2 と（ｘ+ｙ+ｚ）~2の公式を想起できるかどうか。
この形と同じであることに気づいて文字の置き換えを行ってあげれば楽に方針が見えてきますね。
(3)はおまけのような問題です。３変数の方程式において、
（x-ｚ）~2+（ｙ-ｚ）~2+（ｚ-ｘ）~2=0 で ｘ-ｚ=0 かつ ｙ-ｚ=0 かつ ｚ-ｘ=0 が、
（ｘ-ｚ）（ｙ-ｚ）（ｚ-ｘ）=0 で ｘ-ｚ=0 または ｙ-ｚ=0 または ｚ-ｘ=0 が導き出されることを知っていれば
何も難しくはありません。
Ⅰ、整数
問題自体は非常にシンプルですが、きちんと整数を勉強してこなかった人にとっては、
「答えは具体的に出るけど、これ以外にないということを証明できない」
といった事態に陥るのではないでしょうか。
僕もつい先週教え子に整数の考え方を教えたばかりなのに、この状況になってしまいました・・・。
「整数解を求めるときは 整数×整数＝整数 の形にして拾い上げる」
「変数が多いときは、最小の値を設定して範囲を絞り上げる」
この二つを理解している人にとってはなんら難しくない問題でした。
ひとつめの 整数×整数＝整数 とは、
例えば正の整数であるA,Bについて、A×B＝５という式を立式できれば、
（A,B）=（１，５） , （５，１）と言う風に解を導き出すことができますね。
これを利用して、与えられた式を上記の形にすることが必要になるわけですが、
最終目標が（ｘ- ）（ｙ- ）＝整数 の形になることをイメージできれば、
xy（係数は１）の項を作れればいいということになります。（ｘとyの項は係数が同じになります）
展開なり移行なりしてうまいこと処理しましょう。
(2)について、
最小の値を設定して範囲を絞り上げる とは、
例えば １≦x≦y≦z という条件のもとで ｘ×ｙ×ｚ=８ という式が与えられているとき、
ｘ≧３のとき ｘ×ｙ×ｚ≧２７＞８ となるため条件を満たさない。そのため x=１,２ とすることです。
つまり取り得ない値をあらかじめ見積もっておいて、
それについての方程式が不適であることを示し、求めたい文字の値を確定する
方法のことを、範囲を絞り上げると言います。
今回の条件からは最も小さい値になるであろう（１+１/x）に注目して不等式を立式します。
ｘについての処理が終われば、それぞれの値においてy,zについても同様に計算します。
Ⅱ、図形の計量（最大・最小）
ようやく最後です。
三角形の各辺の長さを足したものの最小の値を求めよという問題ですが、
結局これは折れ線の長さの最小値を求めるものの類題だと気づけるかどうかが
解けるかどうかを左右します。
常日頃から図形的考察の練習を行えている人であれば想起できなくもないと思います。
僕は全然思いつかず、正三角形のときが短いだのなんだの妄想を繰り広げました←
また、(2)と(3)がぱっと見違いがあまり見受けられませんが、
Dがどの地点にあればもっとも OD=a が短くなるのかを考えて、
そのときのaの値をｒとθで表してあげましょう、というのが(3)で問われていることです。
もし折れ線の問題だと思いつけたひとは、やはり計算ミスをしないようにしましょう。
この問題は出来る人と出来ない人とで差がつけられると思います。
以上５問、長かったですね。
やはりⅤでなんとしても完答、Ⅳで途中の不等式処理まで、Ⅲもできれば完答、
Ⅰ、Ⅱはともに少し部分点もらえればいいかなって感じで、２完半々くらい取れれば十分でしょう。
言い古されてきてはいますが、東大・一橋はじめとした難関国公立大を目指す人は、
他の分野を後回しにしても確率・整数の勉強に力を入れることをお勧めします。
それでは今日はここまでです。お疲れ様でした。
