両親から言われました。
いい年なんだからそろそろ独立したら。
いい年なんだからそろそろ自立したら。
両親から言われた2つの言葉、みなさんはどちらのほうが「よーし」っていう気持ちになりますか。
「独」の基本的な意味は、一人であること。『新漢字林』によれば、争うことの好きな不快な犬の意味が転じて、一人の意味を表わすようになったそうです。
特に「一人」ということに力点が置かれ、「独身」（結婚する相手がいない人）、「独白」（会話ではなく、一人で話すこと）、「独習」（だれにも教わらず一人で勉強すること）、「独立」（だれかの保護を離れて、一人で生活すること）。
というように、言い換えれば「相手の制約を受けずに自由にする」というニュアンスが含まれています。
一方の「自」。こちらは自分でという意味があります。もともとは
「鼻」の形から生まれた字で、それが転じて自己・おのれの意味を表わすようになりました。（『新漢字林』）。
「自分」（おのれのこと）。「自首」（犯人が自分から罪を申し出ること）、「自習」（自ら進んで勉強すること）「自立」（自分の力で立つこと）。
というように、「自」の場合は、「自ら進んで」というニュアンスが含まれています。
ですから、「独立しなさい」と言われたら、「親を頼らず、自分の好きなように一人で生きていきなさい」というニュアンスがあり、「自立しなさい」と言われたら、「親に言われたからではなく、自分の足で立ち、生活できるようにしなさい」という意味なんでしょうね。