数学オリンピック予選・問１。灘中の１日目に出そうな問題ですが

先ほどは、今日の数学オリンピック予選の問２を紹介しました。

 

今回は問１です。
crambonさんが問題を紹介されていました。

 

灘中の１日目に出そうな問題

４つの相異なる実数から２つを選び、その積を６通りすべて書きます。
そのうち１つを消すと、残った５つは小さい順に２、３、４、５、６。
もとの４つの実数のうち、とりうる最大の値を求める問題です。

これは灘中の１日目の問題で出そうな問題ですね。
数の組合せと、積の関係に注目するところが、いかにも算数の問題らしいです。

ただし、「整数」ではなく「実数」としているところがポイントですね。

積が２、３、４、５、６と整数で並んでいるので、もとの４つも整数だと思って探し始めたくなります。
でも、そんな条件はどこにもありません。

消された積は12/5

４つの数をa、b、c、dとすると、６通りの積は
ab、ac、ad、bc、bd、cd。

これらは、
ab×cd＝ac×bd＝ad×bc＝abcd
と、２つずつ３組に分けると同じ積になります。

１つ消されても、この３組のうち２組は両方の数が残っています。
２、３、４、５、６の中で、別々の４つを使って同じ積になるのは、
２×６＝３×４＝12。

したがって、残る５の相手が消された数です。
消された積は12÷５＝12/5となります。

「とりうる最大値」もポイント

ここで終わりではなく、求めたいのは、もとの実数の最大値です。
実は、条件を満たす数の組は１通りではありません。

残った５つの積がすべて正なので、もとの４つはすべて同符号です。最大値を考えるには、すべて正の場合を調べればよいことになります。

４つのうち１つをdとすると、
d²＝(ad×bd×cd)÷abcd。
分母のabcdは12です。

また、ad、bd、cdは、相手同士を掛けると12になる３組
（２、６）、（３、４）、（12/5、５）
から、それぞれ１つずつを選ぶことになります。

だから、
d²≦６×４×５÷12＝10。
つまり、dは√10以下です。

実際、４つを小さい順に
２√10/5、√10/2、３√10/5、√10
とすれば、６通りの積は
２、12/5、３、４、５、６
となり、条件を満たします。

よって、答えは√10です。

消された積を求めるところまでは算数の発想。
最後に平方根が出てくるところで、「実数」という条件が効いてきます。

整数に決めつけずに考えること。
そして、１組見つかっただけで終わらず、「とりうる最大値」まで確かめること。
問１から、なかなかよくできた問題ですね。