過去問を解いていた時のこと。
【問題】
f(x)=x^3-x^2-3x+7上の点（1,4）における接線をLとする。Lの方程式を求めよ。
こんな問題だとまずはf(x)を微分してf'(x)=3x^2-2x-3
f'(1)=-2
(1,4）における接線はy=-2(x-1)+4=-2x+6と解くでしょう。
しかし、接戦という条件からf(x)とLの式から重解（x-1)^2が見えるので
f(x)を（x-1)^2で割ってあげると、f(x)=（x-1)^2・（x+1)-2x+6となるのでLはy=-2x+6とわかります。
そしてf(x)とLのもう1つの交点のx座標は-1とわかります。
なぜならf(x)-（-2x+6）＝（x-1)^2・（x+1)と式変形ができ、これはf(x)とLの交点を求めている式と同じです。
微分を使った正攻法もいいけど、３次関数のグラフや微分を知らなくても数Ⅰで習うことを使ったこんなアプローチもできるようになると応用の範囲が広がるんですけどね。
