>図をトレースせず、
問題の図にいろいろな情報を
書き込みながら考えるのは、
ある程度勉強が進んでからです。
図の特徴を正確に把握できないと
問題は解けません。
図の特徴を正確に把握するためには、
とりあえず図を正確に
トレースする練習です。
この基本が癖になっていれば、この問題の補助線も自然と見えるはず。
では私にはどう見えたかを２通りの方法を紹介します。
隠れた図形を復元しつつ、ＡＰ＝ＣＱという条件をどう使うかがポイントでした。
（方法①）
この問題の設定となっている直角２等辺三角形から隠れている正方形ABCDを復元します。
また、これは直角三角形を扱う時の王道、AH⊥BPより∠ABH＝∠PAH＝20°が見えるので
ARを伸ばしてEをとると、△ABP≡△AECを作ります。
そうするとＡＰ＝ＣＥ＝ＣＱから
△CQR≡△CERがわかるので、∠QRC=∠ERCなのであとは簡単に求めることができます。
問題を見た瞬間にこの一連の流れが見えました。
（方法②）
次の方法は、直角二等辺三角形よりADを引いてさらに直角二等辺三角形を作ります。
そして直角三角形を扱う時の王道、AH⊥BPより∠ABH＝∠PAH＝20°が見えます。
すると△ＡＢＥ≡△ＣＡＲがわかります。
ＡＰ＝ＣＱの条件を使って△ＡＥＰ≡△ＣＲＱがわかるので
∠ＱＲＣ＝∠ＰＥＡが言えるのであとは求めることができますね。
特別なことは何も考えていません。
正方形や直角二等辺三角形、直角三角形の性質を使って隠れた図形を復元し、合同な図形を見つけ出しただけです。
だから面倒でも
図の特徴を正確に把握するために
「とりあえず図を正確にトレースする練習」
が大事なのです。
さらに、ＡＤを引けば
四角形ＥＤＲＨが円に内接することや、
ＡＰ＝ＣＱから五角形ＥＤＲＱＰが線対称な図形であること、
が見えてくるなと気づけるようになります。