受験生が苦手な２大分野といえば、場合の数と立体切断の問題です。
先日upした頭の体操の問題は場合の数から。
うまく数える方法を考えてみたら、計算だけで解ける問題でした。
コメントをいただいたので、もう少し話を深ぼってみます。
【問題】
下の図は、合同な１６個の平行四辺形を、辺を共有するようにして、１段目に１つ、２段目に３つ、３段目に５つ、４段目に７つ、と並べたところを表しています。
では、この図形の中に、平行四辺形は何個あるでしょうか。
場合の数は、のちにもとても役立つ分野だと思っています。
あることに対して、考える色々なパターンを考えることに役立つので、算数の問題にとどまりません。
そしてそのパターンの切り出し方もどのように見るかによって変わってきます。
プレゼンでもあることを説明するためにどのような軸で説明するかによっても見え方や受け止め方が変わってくるものです。
個別の問題としてでなく、一般化まで拡張出来たら普遍性のある見方として使える方法へ昇華することができます。
たとえば、2022年の開成問3の問題を例にあげます。
漸化式による一般化が背景となっている問題でした。
頭の体操の問題は
ｎ段積まれた場合をa(n)通りと考えます。
a(n)=a(n-1)+{a(n-1)-a(n-2)}+(2n)C2=2a(n-1)-a(n-2)+(2n)C2
a(1)=1、a(2)=8
と一般化できました。
すると
a(3)=2×a(2)-a(1)+6C2=16-1+15=30
a(4)=2×a(3)-a(2)+8C2=60-8+28=80
a(5)=2×a(4)-a(3)+10C2=160-30+45=175
このようにどんなn段でも計算で求めることができます。
そして一般解、ｎ段なら (n^2)(n＋1)(n＋2)/6 個
を計算すると出せるのです。
これも見る視点の工夫によりなせる業なのです。
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