自然対数の底eが無理数であることを選択数学で試みた。
eの定義はいろいろあるが，証明にはこれを使った。
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…
背理法で証明する。
証明
e=a/b とおくと（a，b：整数，b>0）
be=a
任意の0以上の整数nに対して，
n!be=n!a
右辺は明らかに整数である。
左辺は，
e=(1+1/1!+1/2!+…1/n!) + (1/(n+1)!+1/(n+2)!+1/(n+3)!+…)
と分けると
n!be=n!b(1+1/1!+1/2!+…1/n!) + b(1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)+…)
これの第1項は明らかに整数。
第2項は
1/(n+1) < 1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)+…
< 1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+…
=1/n
よって，整数にならない。
したがって矛盾する。
ゆえにeは無理数である。
証明終
何とか高校生でも理解できそう。