このところ全くブログに顔を出せなくなってしまっています…。
いくつか保留中の記事もあるのですが，メイン活動の方に時間が割かれていて，完全に活動休止中です。
いただいているコメントにもお返事ができない状態で，読者の方には申し訳なく思っています。
来春にはまたブログ活動を再開していく予定ですので，それまでお待ちください！ ヾ(=´･∀･｀=)
3日連続の連立方程式。第3弾の今日は速さについてまとめてみます。昨日に引き続き，苦手に感じる人が多い問題ですが，1つ1つ整理して考えていきましょう。
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
【文章題の読み方】
■文章の話題■
・連立方程式は，方程式が2つ必要。ということは，文章の中にも話題やパターンが2つある！
[例]枚数と代金（枚と円），個数と重さ（個とg），距離と時間（mと分）など
→単位も2種類ある
■文章の方程式化■…下の「パートB」の作業
・求めなければならないもの（問われているもの）を，単位を付けて，x，yで表す
・書かれてある通りのことを式にするだけ（＝実は超シンプルな作業）
（補足）「＝」は，「～は」「～すると」「～したら」「～したところ」「～したため」「～して」などの位置に来る！
【文章題の流れ】
■パートA■…準備
◎ 何をx，yと置くか（求めなければならないもの）を確認する
◎ 2つの話題を確認する
■パートB■…登場人物の説明
① 求めなければならないもの（問われているもの）をx，yで表す ←単位も忘れず付ける！
（問題文の最後の部分をまねするだけ）
② 文章に書かれていある通りに式に起こす
■パートC■…計算
③ 連立方程式を解く
■パートD■…解答
④ （問題文と同じになるか確認してから）解答を書く
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
問題・解答例
（※）問題文を解釈した「 」内では，青色と緑色で2つの話題やパターンを表しておきます。
（※）計算は加減法でも代入法でもどちらでも構いません。下記の計算は，あくまでも解答例です。
（※）計算式のフォントを操作してあるので，Windowsパソコンだと見やすく表示されるはずです。
（※）分数はスラッシュで斜め表記してあります。「1/2」は「2分の1」です。灰色で区切りを付けています。
■途中で速さが変わる時間・道のり■
《確認》
・速さ＝道のり÷時間
・時間＝道のり÷速さ
・道のり＝速さ×時間
・数直線にまとめると，速さ：2項目・時間：3項目・道のり：3項目の計8項目の記入ができる！
←速さには合計がない！ （土偶の顔…？）
◎標準問題1
A地点から150km離れたC地点まで行くのに，途中のB地点までは時速40km，B地点からは時速60kmの速さで進んだところ，全体で3時間かかった。AB間の距離，BC間の距離をそれぞれ求めなさい。
→書かれていない時間（話題Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→話題A「xkm進んで，ykm進んだところ（＝）全体で150km」
話題B「x/40時間進んで，y/60時間進んだところ（＝）全体で3時間かかった」
（解答）：加減法
AB間の距離をxkm，BC間の距離をykmとすると，
x＋y＝150 …① 〈道のりの式〉
x/40＋y/60＝3 …② 〈時間の式〉
②×120 3x＋2y＝360 …②' ←右辺の3も忘れず120倍！
①×2 2x＋2y＝300 …①'
②'－①' x＝60 …③
③を①に代入 60＋y＝150
y＝90
連立方程式の解：x＝60，y＝90 A．AB間…60km，BC間…90km
◎標準問題2
全体が18kmのハイキングコースを，初めは時速4kmで歩き，途中から時速3kmで歩くと，5時間かかりました。時速4kmで歩いた時間と時速3kmで歩いた時間をそれぞれ求めなさい。
→書かれていない道のり（話題Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→話題A「初めはx時間歩き，途中からy時間歩くと（＝）5時間かかりました」
話題B「初めは4xkm歩き，途中から3ykm歩くと（＝）18km」
（解答）：加減法
時速4kmで歩いた時間をx時間，時速3kmで歩いた時間をy時間とすると，
x＋y＝5 …① 〈時間の式〉
4x＋3y＝18 …② 〈道のりの式〉
①×4 4x＋4y＝20 …①'
①'－② y＝2 …③
③を①に代入 x＋2＝5
x＝3
連立方程式の解：x＝3，y＝2 A．時速4km…3時間，時速3km…2時間
●応用問題1
Aくんの家から駅までは2kmあり，途中に公園がある。ある日Aくんは家から公園まで毎分100mで走り，公園で3分休憩した後，公園から駅までは毎分60mで歩いて行ったところ，全部で32分かかった。このとき，Aくんの家から公園までの道のりと公園から駅までの道のりを求めなさい。
→書かれていない時間（話題Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→話題A「xm走り，ym歩いて行ったところ（＝）（2kmをmに直して）2000m」
話題B「x/100分走り，3分休憩した後，y/60分歩いて行ったところ（＝）全部で32分かかった」
（解答）：加減法
家から公園までの道のりをxm，公園から駅までの道のりをymとすると，
x＋y＝2000 …① 〈道のりの式〉
x/100＋3＋y/60＝32 …② 〈時間の式〉
②より x/100＋y/60＝29
両辺を300倍して 3x＋5y＝8700 …②'
①×3 3x＋3y＝6000 …①'
②'－①' 2y＝2700
y＝1350 …③
③を①に代入 x＋1350＝2000
x＝650
連立方程式の解：x＝650，y＝1350 A．家から公園まで…650m，公園から駅まで…1350m
●応用問題2
2つの給水管A，Bと水槽がある。Aからは毎分8L、Bからは毎分6Lの水が出る。 また，Ａ，Ｂを一緒に使って水槽を満水にするには15分間かかる。この水槽にまずAだけで水を入れ，続けてBだけで水を入れると，満水になるまでに最初から31分間かかった。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 水槽の容積を求めなさい。
→AとBを一緒に使うと，1分間で8＋6＝14(L)の水が入る。その15分間分を求める。
（解答） (8＋6)×15＝14×15＝210 A．210L
⑵ Aで入れた水の量とBで入れた水の量をそれぞれ求めよ。
→速さでなくても，発想は速さと一緒！
→書かれていない時間（話題Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→話題A「xL入れ，続けてyL入れると（＝）満水の210L」
話題B「x/8分入れ，続けてy/6分入れると（＝）最初から31分間かかった」
（解答）：加減法
Aで入れた水の量をxL，Bで入れた水の量をyLとすると，
x＋y＝210 …① 〈水の量の式〉
x/8＋y/6＝31 …② 〈時間の式〉
②×24 3x＋4y＝744 …②'
①×3 3x＋3y＝630 …①'
②'－①' y＝114 …③
③を①に代入 x＋114＝210
x＝96
連立方程式の解：x＝96，y＝114 A．A…96L，B…114L
■2通りある速さ・時間・道のり■
《確認》
・1つの通りにつき1つの数直線を用意して，情報を整理する！
◎標準問題3
A地点からB地点を通ってC地点まで行くのに，自転車でAB間を時速15km，BC間を時速12kmで進むと1時間かかります。また，AB間を時速3km，BC間を時速4kmで歩くと4時間かかります。AB間，BC間の道のりは，それぞれ何kmですか。
→書かれていない時間（パターンA，Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→パターンA「時速15kmでxkm（x/15時間）進み，時速12kmでykm（y/12時間）進むと（＝）1時間かかります」
パターンB「時速3kmでxkm（x/3時間）進み，時速4kmでykm（y/4時間）進むと（＝）4時間かかります」
（解答）：加減法
AB間の道のりをxkm，BC間の道のりをykmとすると，
x/15＋y/12＝1 …① 〈パターンAの式〉
x/3＋y/4＝4 …② 〈パターンBの式〉
①×60 4x＋5y＝60 …①'
②×12 4x＋3y＝48 …②'
①'－②' 2y＝12
y＝6 …③
③を②'に代入 4x＋18＝48
4x＝30
x＝15/2
連立方程式の解：x＝15/2，y＝6 A．AB間…15/2km（7.5km），BC間…6km
●応用問題3
A町から峠を越えてB町まで往復した。行きも帰りも，上りは時速3km，下りは時速6kmで歩いたところ，行きは1時間20分，帰りは1時間40分かかった。A町からB町までの道のりを求めなさい。
→書かれていない時間（パターンA，Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→話題A「上りは時速3kmでxkm（x/3時間），下りは時速6kmでykm（y/6時間）歩いたところ（＝）（1時間20分を時間に直して）80/60時間かかった」
話題B「上りは時速3kmでykm（y/3時間），下りは時速6kmでxkm（x/4時間）歩いたところ（＝）（1時間40分を時間に直して）100/60時間かかった」
（解答）：加減法
・A町から峠までの道のりをxkm，峠からB町までの道のりをykmとすると，
x/3＋y/6＝80/60 …① 〈行きの式〉
x/6＋y/3＝100/60 …② 〈帰りの式〉
①より x/3＋y/6＝4/3
両辺を6倍して 2x＋y＝8 …①'
②より x/6＋y/3＝5/3
両辺を12倍して 2x＋4y＝20 …②' ←一旦6倍してから，2倍して2xでそろえてもよい
①'－②' 3x＝ 6
x＝2 …③
③を①'に代入 4＋y＝8
y＝4
連立方程式の解：x＝2，y＝4 （A町から峠…2km，峠からB町…4km） ←ここで終わらない！
・2＋4＝6 A．6km
●応用問題4
家から駅まで1.2kmあります。家を出発して，途中で2分間だけ走ると20分で，途中で4分間だけ走ると16分で駅に着きます。走る速さも歩く速さも一定として，歩いたときと走ったときの速さをそれぞれ分速で求めなさい。
→書かれていない道のりと時間（パターンA，Bの下線，図の□の部分）は自分で求めておく！
→パターンA「分速xmで18分間（18xm）歩き，分速ymで2分間（2ym）走ると（＝）（1.2kmをmに直して）1200m」
パターンB「分速xmで12分間（12xm）歩き，分速ymで4分間（4ym）走ると（＝）（1.2kmをmに直して）1200m」
（どちらも，“途中で走った”ではなく，“歩き終わった後で走った”と整理しておくと考えやすい）
（解答）：加減法
歩いたときの速さを分速xm，走ったときの速さを分速ymとすると，
18x＋2y＝1200 …① 〈パターンAの式〉
12x＋4y＝1200 …② 〈パターンBの式〉
①÷2 9x＋y＝600 …①'
②÷4 3x＋y＝300 …②'
①'－②' 6x＝300
x＝50 …③
③を②'に代入 150＋y＝300
y＝150
連立方程式の解：x＝50，y＝150 A．歩いたとき…分速50m，走ったとき…分速150m
■湖・池■
《確認》
・図で整理した情報を数直線にして考えてみる！
・反対方向…2人の移動距離の和が1周分。同じ方向…2人の移動距離の差が1周分。
◎標準問題4
1周1500mの池のまわりを，A君とB君は同じ地点から同時に出発して，それぞれ一定の速さで走ることにした。 2人が反対方向に走ったところ，5分後に初めて出会った。2人が同じ方向に走ったところ，30分後にA君がB君に追いついた。A君とB君の走る速さをそれぞれ求めなさい。
→書かれていない道のり（パターンA，Bの下線，図（数直線）の□の部分）は自分で求めておく！
→パターンA「分速xmで5分走った距離（5xm）と分速ymで5分走った距離（5ym）の合計が（＝）（池1周分の）1500m」
パターンB「分速xmで30分走った距離（30xm）と分速ymで30分走った距離（30ym）の違いが（＝）（池1周分の）1500m」
（解答）：加減法
Aさんの速さを分速xm，Bさんの速さを分速ymとすると，
5x＋5y＝1500 …① 〈反対方向の式〉
30x－30y＝1500 …② 〈同じ方向の式〉
①÷5 x＋y＝300 …①'
②÷30 x－y＝ 50 …②'
①'＋②' 2x＝350
x＝175 …③
③を①'に代入 175＋y＝300
y＝125
連立方程式の解：x＝175，y＝125 A．Aさん…分速175m，Bさん…分速125m
◎標準問題5
湖のまわりに6㎞の道がある。Aさんは自転車で，Bさんは徒歩で，同じ地点から同じ方向へ同時に出発したところ，Aさんは40分後にBさんに追いついた。追いついた地点から，今度は互いに反対の方向へ同時に出発したところ，24分後に2人は出会った。AさんとBさんの速さをそれぞれ求めなさい。
→書かれていない道のり（パターンA，Bの下線の部分）は自分で求めておく！
→パターンA「分速xmで40分移動した距離（40xm）と分速ymで40分歩いた距離（40ym）の違いが（＝）（湖1周分の）（6kmをmに直して）6000m」
パターンB「分速xmで24分移動した距離（24xm）と分速ymで24分歩いた距離（24ym）の合計が（＝）（湖1周分の）（6kmをmに直して）6000m」
（解答）：加減法
Aさんの速さを分速xm，Bさんの速さを分速ymとすると，
40x－40y＝6000 …① 〈同じ方向の式〉
24x＋24y＝6000 …② 〈反対方向の式〉
①÷40 x－y＝150 …①'
②÷24 x＋y＝250 …②'
①'＋②' 2x＝400
x＝200 …③
③を②'に代入 200＋y＝250
y＝50
連立方程式の解：x＝200，y＝50 A．Aさん…分速200m，Bさん…分速50m
●応用問題5
周囲が8kmの湖があります。この湖を，兄は自転車で，弟は徒歩で，同じところを出発して反対の方向にまわります。2人が同時に出発すれば，兄と弟は30分後に出会いますが，兄が弟より20分遅れて出発すれば，兄は出発して25分後に弟と出会います。兄，弟それぞれの速さは毎時何kmですか。
→書かれていない道のり（パターンA，Bの下線の部分）は自分で求めておく！
→パターンA「時速xkmで（30分を時間に直した）30/60時間移動した距離（30xm）と時速ykmで（30分を時間に直した）30時間走った距離（30ykm）の合計が（＝）（湖1周分の）8km」
パターンB「時速xkmで（25分を時間に直した）25/60時間移動した距離（25xm）と時速ykmで（45分を時間に直した）45/60時間走った距離（45ym）の違いが（＝）（湖1周分の）8km」
（兄が弟より20分遅れて出発したということは，弟は兄より20分長く（合計45分間）歩いていたことになる）
（解答）：加減法
兄の速さを時速xkm，弟の速さを時速ykmとすると，
(30/60)x＋(30/60)y＝8 …① 〈パターンAの式〉
(25/60)x＋(45/60)y＝8 …② 〈パターンBの式〉
①より (1/2)x＋(1/2)y＝8
両辺を2倍して x＋y＝16 …①'
②より (5/12)x＋(3/4)y＝8
両辺を12倍して 5x＋9y＝96 …②'
①'×5 5x＋5y＝80 …①”
②'－①” 4y＝16
y＝4 …③
③を①'に代入 x＋4＝16
x＝12
連立方程式の解：x＝12，y＝4 A．兄…時速12km，弟…時速4m
■鉄橋・トンネル■
《確認》
・「始めてから終わった」と「終わってから始める」とで考え方が違う！ 問題をしっかり読むこと！
◎標準問題6
ある列車が650mの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに50秒かかった。また，1450mのトンネルに入り終わってから出始めるまでに1分40秒かかった。列車の長さと速さを求めなさい。
（解答）：加減法
列車の長さをxm，速さを秒速ymとすると，
50y＝650＋x …① 〈パターンAの式〉
90y＝1450－x …② 〈パターンBの式〉
①＋② 140y＝2100
y＝15 …③
③を②に代入 1350＝1450－x
x＝100
連立方程式の解：x＝100，y＝15 A．長さ…100m，速さ…秒速15m
◎標準問題7
一定の速さで走る列車があります。この列車は長さ550mの鉄橋を渡るのに，渡り始めてから渡り終わるまでに30秒かかりました。また，長さ650mのトンネルを通り抜ける際，列車がトンネルの中に完全に隠れていたのは20秒間でした。この列車の長さと速さを求めなさい。
（解答）：加減法
列車の長さをxm，速さを秒速ymとすると，
30y＝550＋x …① 〈パターンAの式〉
20y＝650－x …② 〈パターンBの式〉
①＋② 50y＝1200
y＝24 …③
③を②に代入 480＝650－x
x＝170
連立方程式の解：x＝170，y＝24 A．長さ…170m，速さ…秒速24m
●応用問題6
長さ170mのトンネルに入り始めてから出終わるまでに15秒かかる電車Aが，速さが秒速20m，長さが90mの電車Bと出会ってからすれちがい終わるまでに5秒かかった。電車Aの長さと速さを求めなさい。
（解答）：加減法
列車Aの長さをxm，速さを秒速ymとすると，
15y＝x＋170 …① 〈パターンAの式〉
5y＋20×5＝x＋90 …② 〈パターンBの式〉
②より 5y＋100＝x＋90 ←これが②でもよい
5y＝x－10 …②'
①－②' 10y＝180
y＝18 …③
③を②'に代入 90＝x－10
－x＝－100
x＝100
連立方程式の解：x＝100，y＝18 A．長さ…100m，速さ…秒速18m
昨日に引き続き，連立方程式のまとめ第2弾です。今日は割合と食塩水の問題についてまとめてみます。昨日まとめた問題と比べると，今日の問題は苦手に感じる人も多いと思いますが，基本を押さえてしまえば大丈夫ですよ！
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
【文章題の読み方】
■文章の話題■
・連立方程式は，方程式が2つ必要。ということは，文章の中にも話題やパターンが2つある！
[例]枚数と代金（枚と円），個数と重さ（個とg），距離と時間（mと分）など
→単位も2種類ある
■文章の方程式化■…下の「パートB」の作業
・求めなければならないもの（問われているもの）を，単位を付けて，x，yで表す
・書かれてある通りのことを式にするだけ（＝実は超シンプルな作業）
（補足）「＝」は，「～は」「～すると」「～したら」「～したところ」「～したため」「～して」などの位置に来る！
【文章題の流れ】
■パートA■…準備
◎ 何をx，yと置くか（求めなければならないもの）を確認する
◎ 2つの話題を確認する
■パートB■…登場人物の説明
① 求めなければならないもの（問われているもの）をx，yで表す ←単位も忘れず付ける！
（問題文の最後の部分をまねするだけ）
② 文章に書かれていある通りに式に起こす
■パートC■…計算
③ 連立方程式を解く
■パートD■…解答
④ （問題文と同じになるか確認してから）解答を書く
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
問題・解答例
（※）問題文を解釈した「 」内では，青色と緑色で2つの話題やパターンを表しておきます。
（※）計算は加減法でも代入法でもどちらでも構いません。下記の計算は，あくまでも解答例です。
（※）計算式のフォントを操作してあるので，Windowsパソコンだと見やすく表示されるはずです。
（※）分数はスラッシュで斜め表記してあります。「1/2」は「2分の1」です。灰色で区切りを付けています。
■割合■
《確認》
「…増える」「…増し」「…の利益」は増やす！ 「…減る」「…引き」「…の損失」は減らす！
・百分率（％）…100％が基準（＝分数に直すと，分母が100になる！）
［例］20％増える＝120％（120/100） 20％減る＝80％（80/100）
・歩合（割）…10割が基準（＝分数に直すと，分母が10になる！）
［例］2割の利益＝12割（12/10） 2割の損失＝8割（8/10）
◎標準問題1
シャツとセーターを1枚ずつ買いました。定価どおりに買うと合計12000円ですが，シャツは定価の15％引き，セーターは定価の20％引きだったので，代金は9800円になりました。このシャツとセーターの定価はそれぞれいくらですか。
→話題A「x円とy円を定価どおりに買うと（＝）合計12000円です」
が，話題B「x円は85％，y円は80％だったので（＝），代金は9800円になりました」
（解答）：加減法
シャツの定価をx円，セーターの定価をy円とすると，
x＋y＝12000 …① 〈定価の式〉
(85/100)x＋(80/100)y＝9800 …② 〈代金の式〉 ←左辺は0.85x＋0.8yでもOK
②×100 85x＋80y＝980000 ←右辺の9800も忘れず100倍！
両辺を5でわって 17x＋16y＝196000 …②' ←②を約分してから20倍してもよい
①×16 16x＋16y＝192000 …①'
②'－①' x＝4000 …③
③を①に代入 4000＋y＝12000
y＝8000
連立方程式の解：x＝4000，y＝8000 A．シャツ…4000円，セーター…8000円
（補足）
②の式のように分数で方程式を作っても，分数は約分しなくてよい。もちろん，先に約分をしてもよいが，その場合，式は(17/20)x＋(4/5)y＝9800となるので，分数を整数に直すために両辺にかける分母の最小公倍数（この場合は20）を，いちいち自分で思いつかなければならない。約分しなければ，100をかければよいとすぐ判断できる。
ただし，先に約分をしてから20をかけるという方法は，②を100倍してから5でわるという遠回りをせずに，②'の式が作れるという利点もある。そのときそのときで，どちらが楽かを判断しながら計算を進められるのが理想的。
◎標準問題2
ある中学校の2年生の生徒270人が職場体験をすることになりました。そのうち，男子の10％と女子の24％が幼稚園に行くことになり，その人数は48人です。この中学校の2年生の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。
→話題A「2年生の生徒x人とy人で（＝）合計270人」
話題B「x人の10％，y人の24％は（＝），48人です」
（解答）：加減法
男子の生徒数をx人，女子の生徒数をy人とすると，
x＋y＝270 …① 〈2年生全員の式〉
(10/100)x＋(24/100)y＝48 …② 〈幼稚園に行く生徒数の式〉
②×100 10x＋24y＝4800
両辺を2でわって 5x＋12y＝2400 …②' ←②を約分してから50倍してもよい
①×5 5x＋5y＝1350 …①'
②'－①' 7y＝1050
y＝150 …③
③を①に代入 x＋150＝270
x＝120
連立方程式の解：x＝120，y＝150 A．男子…120人，女子…150人
●応用問題1
兄は持っていたお金の50％を，弟は持っていたお金の30％をそれぞれ出し合って，2700円の品物を買いました。2人の残金を比べたら，弟の方が兄より300円多くなっていました。2人が初めに持っていた金額を求めなさい。
→話題A「x円の50％とy円の30％を出し合って（＝）2700円の品物を買いました」
話題B「y円の70％の方が（＝）x円の50％より300円多くなっていました」
（解答）：加減法
兄が初めに持っていた金額をx円，弟が初めに持っていた金額をy円とすると，
(50/100)x＋(30/100)y＝2700 …① 〈代金の式〉
(70/100)y＝(50/100)x＋300 …② 〈残金を比べた式〉
①×10 5x＋3y＝27000 …①' ←①を100倍してから10でわってもよい
②×10 7y＝5x＋3000 ←②を100倍してから10でわってもよい
－5x＋7y＝3000 …②'
①'＋②' 10y＝30000
y＝3000 …③
③を①'に代入 5x＋9000＝27000
5x＝18000
x＝3600
連立方程式の解：x＝3600，y＝3000 A．兄…3600円，弟…3000円
■去年・今年の増減■
《確認》
・今年の人数が問われていても，去年の人数をx，yで表す！（割合の基準が去年の人数だから）
・最後に必ず今年の人数を求めて終わる！
●応用問題2
あるボランティア活動の去年の参加者は，大人と子供を合わせて300人であった。今年は去年に比べて，大人が1割減り，子供が5％減ったため，全体では23人少なくなっていた。今年の大人，子供の参加者数をそれぞれ求めなさい。
→話題A「x人とy人を合わせて（＝）300人であった」
話題B「x人が9割，y人が95％になったため（＝），（300人より）23人少なくなっていた」
（解答）：加減法
去年の大人の参加者をx人，子供の参加者をy人とすると，
x＋y＝300 …① 〈去年の式〉
(9/10)x＋(95/100)y＝300－23 …② 〈今年の式〉
②より (9/10)x＋(19/20)y＝277 ←これが②でもよい
両辺を20倍して 18x＋19y＝5540 …②'
①×18 18x＋18y＝5400 …①'
②'－①' y＝140 …③
③を①に代入 x＋140＝300
x＝160
連立方程式の解：x＝160，y＝140 ←これはまだ“去年”の人数！
・160×9/10＝144 ←〈(全体)×(割合)〉で求める！
・140×95/100＝133 A．大人…144人，子供…133人
（補足）
最後の計算で，子供の人数は277－144＝133として楽に求めることもできるが，もし大人の計算が間違えていたら，子供の人数も自動的に間違いになるので，オススメはしない。大人も子供もそれぞれ割合で計算する方が，最後にたしてきちんと277人になるかどうかで正誤を確かめることができるので，オススメ！
（別解）：加減法 話題Bを「x人の－1割，y人の－5％，全体では（＝）－23人」と“題意通り”に捉える
去年の大人の参加者をx人，子供の参加者をy人とすると，
x＋y＝300 …① 〈去年の式〉
－(1/10)x－(5/100)y＝－23 …② 〈増減の式〉
②×100 －10x－5y＝－2300
両辺を－5でわって 2x＋y＝460 …②' ←②を約分してから－20倍してもよい
②'－① x＝160 …③
③を①に代入 x＋140＝300
x＝160
連立方程式の解：x＝160，y＝140 ←これはまだ“去年”の人数！
・160×9/10＝144 ←〈(全体)×(割合)〉で求める！
・140×95/100＝133 A．大人…144人，子供…133人
●応用問題3
ある工場では，先月は製品Aと製品Bを合わせて600個出荷した。今月は先月に比べて，製品Aが1割増，製品Bが2割減だったので，全体の出荷数は6％減であった。今月の製品Aと製品Bの出荷数をそれぞれ求めなさい。
→話題A「x個とy個を合わせて（＝）600個出荷した」
話題B「x人が11割，y人が8割だったので（＝），（600個の）94％であった」
（解答）：加減法
先月の製品Aの出荷数をx個，製品Bの出荷数をy個とすると，
x＋y＝600 …① 〈先月の式〉
(11/10)x＋(8/10)y＝600×(94/100) …② 〈今月の式〉 ←〈(全体)×(割合)〉！
②より (11/10)x＋(8/10)y＝564
両辺を10倍して 11x＋8y＝5640 …②'
①×8 8x＋8y＝4800 …①'
②'－①' 3x＝840
x＝280 …③
③を①に代入 280＋y＝600
y＝320
連立方程式の解：x＝280，y＝320 ←これはまだ“先月”の出荷数！
・280×11/10＝308 ←〈(全体)×(割合)〉で求める！
・320×8/10＝256 A．製品A…308個，製品B…256個
（別解）：加減法 話題Bを「x個が＋1割，y個が－2割だったので（＝）（600個の）－6％であった」と捉える
先月の製品Aの出荷数をx個，製品Bの出荷数をy個とすると，
x＋y＝600 …① 〈先月の式〉
(1/10)x－(2/10)y＝600×(－6/100) …② 〈増減の式〉 ←〈(全体)×(割合)〉！
②より (1/10)x－(2/10)y＝－36
両辺を10倍して x－2y＝－360 …②'
②'－① －3y＝－960
y＝320 …③
③を①に代入 x＋320＝600
x＝280
連立方程式の解：x＝280，y＝320 ←これはまだ“先月”の出荷数！
・280×11/10＝308 ←〈全体×割合〉で求める！
・320×8/10＝256 A．製品A…308個，製品B…256個
■食塩水■
《確認》
・1つの食塩水を作るときは〈食塩水の重さの式〉と〈食塩だけの重さの式〉で連立方程式を立てる。
2つの食塩水を作るときは〈食塩だけの重さの式〉を2つ作って連立方程式を立てる
・〈食塩の重さ＝食塩水の重さ×食塩水の濃度〉で求める。
（数学では便宜上「重さ」と書いてあるが，理科ではより正確に「質量」として考える。）
◎標準問題3
7％と15％の食塩水を混ぜて，10％の食塩水を400g作りたい。それぞれの食塩水を何gずつ混ぜればよいですか。
→話題A「xgとygを混ぜて（＝）400g作りたい」
話題B「xgの7％（(7/100)xg）とygの15％（(15/100)yg）を混ぜて（＝）（400gの）10％（40g）」
←食塩の重さは自分で求めておく！
（解答）：加減法
7％の食塩水をxg，15％の食塩水をyg混ぜるとすると，
x＋y＝400 …① 〈食塩水の式〉
(7/100)x＋(15/100)y＝400×(10/100) …② 〈食塩の式〉 ←右辺は40でもOK！
②×100 7x＋15y＝4000 …②' ←右辺も忘れず100倍！
①×7 7x＋7y＝2800 …①'
②'－①' 8y＝1200
y＝150 …③
③を①に代入 x＋150＝400
x＝250
連立方程式の解：x＝250，y＝150 A．7％の食塩水…250g，15％の食塩水…150g
◎標準問題4
食塩水Aを400gと食塩水Bを300g混ぜると9％の食塩水になり，食塩水Aを300gと食塩水Bを400g混ぜると8％の食塩水になるという。食塩水Aと食塩水Bの濃度はそれぞれ何％か。
→パターンA「400gのx％（4xg）と300gのy％（3yg）を混ぜて（＝）（700gの）9％（63g）」
パターンB「300gのx％（3xg）と400gのy％（4yg）を混ぜて（＝）（700gの）8％（56g）」
（解答）：加減法
食塩水Aの濃度をx％，食塩水Bの濃度をy％とすると，
400×(1/100)x＋300×(1/100)y＝(400＋300)×(9/100) …① 〈パターンA〉
300×(1/100)x＋400×(1/100)y＝(300＋400)×(8/100) …② 〈パターンB〉
①より 4x＋3y＝63 …①' ←これが①でもよい
②より 3x＋4y＝56 …②' ←これが②でもよい
①×4 16x＋12y＝252 …①”
②×3 9x＋12y＝168 …②”
②”－①” 7x＝84
x＝12 …③
③を①'に代入 48＋3y＝63
3y＝15
y＝5
連立方程式の解：x＝12，y＝5 A．食塩水A…12％，食塩水B…5％
◎標準問題5
銅を含む2種類の合金A，Bがあり，Aは90％，Bは60％の銅を含んでいる。今，A，Bを溶かし合わせて70％の銅を含む合金を45kg作りたい。A，Bをそれぞれ何kgずつ溶かせばよいか求めなさい。
→食塩水ではないが，発想は食塩水と一緒！
→話題A「xkgとykgを溶かし合わせて（＝）45kg作りたい」
話題B「xkgの90％（(90/100)xg）とykgの60％（(60/100)yg）を混ぜて（＝）（45kgの）70％（(63/2)g）」
（解答）：加減法
合金Aをxkg，合金Bをykg溶かすとすると，
x＋y＝45 …① 〈合金の式〉
(90/100)x＋(60/100)y＝45×(70/100) …② 〈銅の式〉
②×100 9x＋6y＝315 …②' ←右辺も忘れず100倍！
①×6 6x＋6y＝270 …①'
②'－①' 3x＝45
x＝15 …③
③を①に代入 15＋y＝45
y＝30
連立方程式の解：x＝15，y＝30 A．合金A…15kg，合金B…30kg
●応用問題4
A，B2種類の食塩水が400ｇずつある。食塩水Aから200g，食塩水Bから100gをとって混ぜたら，8％の食塩水ができた。また，残った食塩水Bに20gの食塩を混ぜたら，食塩水Aと濃度が等しくなった。元の食塩水A，Bの濃度はそれぞれ何％か。
→パターンA「200gのx％（2xg）と100gのy％（yg）を混ぜて（＝）（300gの）8％（24g）」
パターンB「300gのy％（3xg）に20g混ぜたら（＝）x％になった」→「320gのx％が（＝）(3y＋20)g」
（解答）：加減法
食塩水Aの濃度をx％，食塩水Bの濃度をy％とすると，
200×(1/100)x＋100×(1/100)y＝(200＋100)×(8/100) …① 〈パターンA〉
320×(1/100)x＝3y＋20 …② 〈パターンB〉
①より 2x＋y＝24 …①' ←これが①でもよい
②より (16/5)x＝3y＋20 ←これが②でもよい
(16/5)x－3y＝20
両辺を5倍して 16x－15y＝100 …②'
①×15 30x＋15y＝360 …①”
②'＋①” 46x＝460
x＝10 …③
③を①'に代入 20＋y＝24
y＝4
連立方程式の解：x＝10，y＝4 A．食塩水A…10％，食塩水B…4％
（補足）
②の式は濃度の公式通りに，[{300×(1/100)y＋20}/(300＋20)]×100＝xとしてもよいが，煩雑になる。
●応用問題5
濃度の異なる食塩水がA，B2つの容器に入っている。Aの食塩水を400gとBの食塩水を300g混ぜ，そこから水を200g蒸発させたら，9％の食塩水ができた。また，Aの食塩水を100g，Bの食塩水を200g混ぜ，そこに水を200g加えたら5％の食塩水ができた。A，Bそれぞれの食塩水の濃度を求めなさい。
→パターンA「400gのx％（4xg）と300gのy％（3yg）を混ぜ，200g蒸発させたら（＝）（500gの）9％（45g）」→「4xgと3ygを混ぜたら（＝）45g」
パターンB「100gのx％（xg）と200gのy％（2yg）を混ぜ，200g加えたら（＝）（500gの）5％（25g）」→「xgと2ygを混ぜたら（＝）25g」
（拡大可）
（解答）：加減法
食塩水Aの濃度をx％，食塩水Bの濃度をy％とすると，
400×(1/100)x＋300×(1/100)y＝(400＋300－200)×(9/100) …① 〈パターンA〉
100×(1/100)x＋200×(1/100)y＝(100＋200＋200)×(5/100) …② 〈パターンB〉
①より 4x＋3y＝45 …①' ←これが①でもよい
②より x＋2y＝25 ←これが②でもよい
両辺を4倍して 4x＋8y＝100 …②'
②'－① 5y＝55
y＝11 …③
③を②に代入 x＋22＝25
x＝3
連立方程式の解：x＝3，y＝11 A．食塩水A…3％，食塩水B…11％
●応用問題6
食品A，B，Cには，100gあたり，それぞれ20g，12g，5gのタンパク質が含まれている。これらの食品を合わせて300ｇ使って料理を作り，タンパク質がちょうど42ｇ含まれるようにしたい。食品Cを40g使うとすると，食品Aと食品Bはそれぞれ何g使えばよいか。
→タンパク質の量を100gあたりの20g，12g，5gから，1gあたりの20/100g，12/100g，5/100gに直しておく。
→話題A「xgとygと42gを合わせて（＝）300g」
話題B「20/100gのxg分（(20/100)xg）と12/100gのyg分（(12/100)yg）と5/100gの5g分（25/100g）を合わせて（＝）42g」
（解答）：加減法
食品Axg，食品Bをyg使うとすると，
x＋y＋42＝300 …① 〈食品の式〉
(20/100)x＋(12/100)y＋(5/100)×40＝45 …② 〈タンパク質の量〉
①より x＋y＝258 …①' ←これが①でもよい
②より (20/100)x＋(12/100)y＋2＝42 ←これが②でもよい
両辺を100倍して 20x＋12y＋200＝4200
20x＋12y＝4000 …②'
①'×20 20x＋20y＝5160 …①”
①”－②' 8y＝1160
y＝145 …③
③を①'に代入 x＋145＝258
x＝113
連立方程式の解：x＝113，y＝145 A．食品A…113g，食品B…145g
今日の中学2年生の授業では，連立方程式の利用を特訓しました。いわゆる，文章題です。計算はみんなできるようになりましたが，文章題になると手が止まる子もちらほら。期末テストを前に，ここは特に注意して復習しておきたいところです。
その中でも，今日は数量の関係と整数の文章題についてまとめてみます。明日と明後日で，残りの割合と食塩水と速さの問題についてまとめてみる予定です。
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
【文章題の読み方】
■文章の話題■
・連立方程式は，方程式が2つ必要。ということは，文章の中にも話題やパターンが2つある！
[例]枚数と代金（枚と円），個数と重さ（個とg），距離と時間（mと分）など
→単位も2種類ある
■文章の方程式化■…下の「パートB」の作業
・求めなければならないもの（問われているもの）を，単位を付けて，x，yで表す
・書かれてある通りのことを式にするだけ（＝実は超シンプルな作業）
（補足）「＝」は，「～は」「～すると」「～したら」「～したところ」「～したため」「～して」などの位置に来る！
【文章題の流れ】
■パートA■…準備
◎ 何をx，yと置くか（求めなければならないもの）を確認する
◎ 2つの話題を確認する
■パートB■…登場人物の説明
① 求めなければならないもの（問われているもの）をx，yで表す ←単位も忘れず付ける！
（問題文の最後の部分をまねするだけ）
② 文章に書かれていある通りに式に起こす
■パートC■…計算
③ 連立方程式を解く
■パートD■…解答
④ （問題文と同じになるか確認してから）解答を書く
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
問題・解答例
（※）問題文を解釈した「 」内では，青色と緑色で2つの話題やパターンを表しておきます。
（※）計算は加減法でも代入法でもどちらでも構いません。下記の計算は，あくまでも解答例です。
（※）計算式のフォントを操作してあるので，Windowsパソコンだと見やすく表示されるはずです。
■個数や代金の合計■
この記事の最後にまとめた「よくある質問」も参考にしてください。
○基本問題1
1冊150円のノートと1冊120円のノートを合わせて9冊買ったところ，代金は1200円だった。1冊150円のノートと120円のノートをそれぞれ何冊ずつ買ったか求めなさい。
→話題A「x冊とy冊を合わせて（＝）9冊買った」
話題B「150円のノートをx冊と120円のノートをy冊買ったところ（＝），代金は1200円だった」
（解答）：加減法
1冊150円のノートをx冊，120円のノートをy冊買ったとすると，
x＋y＝9 …① 〈冊数の式〉
150x＋120y＝1200 …② 〈代金の式〉
②÷30 5x＋4y＝40 …②'
①×4 4x＋4y＝36 …①'
②'－①' x＝4 …③
③を①に代入 4＋y＝9
y＝5
連立方程式の解：x＝4，y＝5 A．150円のノート…4冊，120円のノート…5冊
（確認）
・4＋5＝9（冊）
・150×4＋120×5＝600＋600＝1200（円）
→問題文と同じになるから，これは正解！（同じにならなかったら，何かが間違っている証拠！）
○基本問題2
1mあたり30gの針金と1mあたり40gの針金が合わせて10mあり，重さの合計が350gになります。1mあたり30gの針金と1mあたり40gの針金がそれぞれ何mあるか求めなさい。
→買い物でなくても，発想は買い物と一緒！
→話題A「xmとymが合わせて（＝）10mあります」
話題B「1mあたり30gの針金xmと1mあたり40gの針金ymは（＝），重さの合計が350gになります」
（解答）：加減法
1mあたり30gの針金がxm，1mあたり40gの針金がymあるとすると，
x＋y＝10 …① 〈長さの式〉
30x＋40y＝350 …② 〈重さの式〉
②÷10 3x＋4y＝35 …②'
①×3 3x＋3y＝30 …①'
②'－①' y＝5 …③
③を①に代入 x＋5＝10
x＝5
連立方程式の解：x＝5，y＝5 A．30gの針金…5m，40gの針金…5m
○基本問題3
2枚または4枚のレポートを書く課題で，72人の生徒が合計160枚のレポートを提出した。このとき，レポートを2枚書いた生徒数と4枚書いた生徒数を求めなさい。
→買い物でなくても，発想は買い物と一緒！
→話題A「x人とy人の合わせて（＝）72人がレポートを提出した」
話題B「x人が2枚ずつ，y人が4枚ずつ書いたら（＝），合計160枚になった」
（解答）：加減法
レポートを2枚書いた生徒がx人，4枚書いた生徒がy人いるとすると，
x＋y＝72 …① 〈生徒数の式〉
2x＋4y＝160 …② 〈枚数の式〉
②÷2 x＋2y＝80 …②'
②'－① y＝8 …③
③を①に代入 x＋8＝72
x＝64
連立方程式の解：x＝64，y＝8 A．2枚書いた生徒…64人，4枚書いた生徒…8人
◎標準問題1
1本150円のボールペンと1本50円の鉛筆を合わせて14本と100円のノートを1冊買うと，1600円でした。ボールペンと鉛筆をそれぞれ何本買いましたか。
→話題A「x本とy本を合わせて（＝）15本買いました」
話題B「1本150円のボールペンをx本と1本50円の鉛筆をy本と100円のノートを1冊買うと（＝），1600円でした」
（解答）：加減法
ボールペンをx本，鉛筆をy本買ったとすると，
x＋y＝14 …① 〈本数の式〉
150x＋50y＋100＝1600 …② 〈代金の式〉
②より 150x＋50y＝1500
両辺を50でわって 3x＋y＝30 …②'
②'－① 2x＝16
x＝8 …③
③を①に代入 8＋y＝14
y＝6
連立方程式の解：x＝8，y＝6 A．ボールペン…8本，鉛筆…6本
◎標準問題2
50円切手と80円切手を何枚かずつ買ったところ，代金は1230円だった。また，50円切手の枚数は，80円切手の枚数の2倍より3枚多かった。50円切手と80円切手をそれぞれ何枚買ったか求めなさい。
→話題A「50円切手をx枚，80円切手をy枚買ったところ（＝），代金は1230円だった」
また，話題B「x枚は（＝）y枚の2倍より3枚多かった」
（解答）：代入法
50円切手をx枚，80円切手をy枚買ったとすると，
50x＋80y＝1230 …① 〈代金の式〉
x＝2y＋3 …② 〈枚数の式〉
①÷10 5x＋8y＝123 …①'
②を①'に代入 5(2y＋3)＋8y＝123
10y＋15＋8y＝123
18y＝108
y＝6 …③
③を②に代入 x＝12＋3
x＝15
連立方程式の解：x＝15，y＝6 A．50円切手…15枚，80円切手…6枚
●応用問題1
1個80円のロールパンと1個120円のメロンパンを合わせて10個と1個160円のピザパンを2個買い，1500円払うと220円のおつりがありました。ロールパンとメロンパンをそれぞれ何個買いましたか。
→話題A「x個とy個を合わせて（＝）10個買いました」
話題B「1個80円のロールパンをx個と1個120円のメロンパンをy個と1個160円のピザパンを2個買い，1500円払うと（＝）220円のおつりがありました」
（解答）：加減法
ロールパンをx個，メロンパンをy個買ったとすると，
x＋y＝10 …① 〈個数の式〉
1500－(80x＋120y＋160×2)＝220 …② 〈おつりの式〉
②より 1500－(80x＋120y＋320)＝220
1500－80x－120y－320＝220
－80x－120y＝－960
両辺を－40でわって 2x＋3y＝24 …②'
①×2 2x＋2y＝20 …①'
②'－①' y＝4 …③
③を①に代入 x＋4＝10
x＝6
連立方程式の解：x＝6，y＝4 A．ロールパン…6個，メロンパン…4個
（補足）
②の式は，次のような形であってもよい。
・80x＋120y＋160×2＝1500－220 〔パンの代金だけだと(1500－220)円〕
・80x＋120y＋160×2＋220＝1500 〔パンの代金とおつりで合計1500円〕
●応用問題2
1個90円のドーナツと1個120円のシュークリームを合わせて20個買う予定で店に行った。ところが，ドーナツとシュークリームの個数を取り違えてしまったため，予定より代金が60円安くなった。ドーナツとシュークリームを何個ずつ買う予定だったか求めなさい。
→話題A「x個とy個を合わせて（＝）20個買いました」
が，話題B「1個90円のドーナツを（x個ではなく）y個と1個120円のシュークリームを（y個ではなく）x個買ったため（＝），代金が予定の(90x＋120y)円より60円安くなりまった」
（解答）：加減法
ドーナツをx個，シュークリームをy個買う予定だったとすると，
x＋y＝20 …① 〈個数の式〉
90y＋120x＝(90x＋120y)－60 …② 〈代金の式〉
②より 90y＋120x＝90x＋120y－60
30x－30y＝－60
両辺を30でわって x－y＝－2 …②'
①＋②' 2x＝18
x＝9 …③
③を①に代入 9＋y＝20
y＝11
連立方程式の解：x＝9，y＝11 A．ドーナツ…9個，シュークリーム…11個
■2通りある個数や代金■
○基本問題4
りんご4個となし3個を買うと1030円，りんご8個となり5個を買うと1890円です。りんご1個，なし1個の値段を求めなさい。
→パターンA「x円のりんごを4個とy円のなしを3個買うと（＝）1030円です」
パターンB「x円のりんごを8個とy円のなしを5個買うと（＝）1890円です」
（解答）：加減法
りんご1個の値段をx円，なし1個の値段をy円とすると，
4x＋3y＝1030 …① 〈パターンAの式〉
8x＋5y＝1890 …② 〈パターンBの式〉
①×2 8x＋6y＝2060 …①'
①'－② y＝170 …③
③を①に代入 4x＋510＝1030
4x＝520
x＝130
連立方程式の解：x＝130，y＝170 A．りんご…130円，なし…170円
○基本問題5
ある動物園の入場料は，子供4人と大人3人では4400円，子供3人と大人5人では5500円です。この動物園の子供1人，大人1人の入場料をそれぞれ求めなさい。
→パターンA「x円の子供が4人とy円の大人が3人では（＝）4400円です」
パターンB「x円の子供が3人とy円の大人が5人では（＝）5500円です」
（解答）：加減法
子供1人の入場料をx円，大人1人の入場料をy円とすると，
4x＋3y＝4400 …① 〈パターンAの式〉
3x＋5y＝5500 …② 〈パターンBの式〉
①×5 20x＋15y＝22000 …①'
②×3 9x＋15y＝16500 …②'
①'－②' 11x＝5500
x＝500 …③
③を①に代入 2000＋3y＝4400
3y＝2400
y＝800
連立方程式の解：x＝500，y＝800 A．子供…500円，大人…800円
◎標準問題3
A，B2種類の缶詰があります。A3個とB2個を重さが180gの箱に詰めると全体の重さは840gになり，A4個とB6個を重さが240gの箱に詰めると全体の重さは1620gになります。A，Bの缶詰1個の重さをそれぞれ求めなさい。
→パターンA「xgのA3個とygのB2個を180gの箱に詰めると（＝）840gになります」
パターンB「xgのA4個とygのB6個を240gの箱に詰めると（＝）1620gになります」
（解答）：加減法
Aの重さをxg，Bの重さをygとすると，
3x＋2y＝840 …① 〈パターンAの式〉
4x＋6y＝1620 …② 〈パターンBの式〉
①×3 9x＋6y＝2520 …①'
①'－② 5x＝900
x＝180 …③
③を①に代入 540＋2y＝840
2y＝300
y＝150
連立方程式の解：x＝180，y＝150 A．A…180g，B…150g
●応用問題3
あるケーキ屋で，A，B2種類のケーキを作っている。Aを1個作るには，小麦粉400g，卵120gが必要であり，Bを1個作るには，小麦粉300g，卵100gが必要である。小麦粉16kg，卵5kgを残さず使うと，A，Bそれぞれ何個できますか。
→16kgは小麦粉の合計，5kgは卵の合計なので，小麦粉の式と卵の式を立てると考える！
→小麦粉「400gをx個分と300gをy個分使うと（＝）（16kgをgに直して）16000gになる」
卵「120gをx個分と100gをy個分使うと（＝）（5kgをgに直して）5000gになる」
（解答）：加減法
Aがx個，Bがy個できるとすると，
400x＋300y＝16000 …① 〈小麦粉の式〉
120x＋100y＝5000 …② 〈卵の式〉
②×3 360x＋300y＝15000 …②'
①－②' 40x＝1000
x＝25 …③
③を①に代入 10000＋300y＝16000
300y＝6000
y＝20
連立方程式の解：x＝25，y＝20 A．A…25個，B…20個
■整数の和や差，比較■
○基本問題6
2つの数の和が13で，一方の数が他方の数の3倍よりも1大きいとき，この2つの数を求めなさい。
→話題A「xとyの和が（＝）13である」
話題B「xが（＝）yの3倍よりも1大きい」
（解答）：代入法
この2つの数をx，yとすると， ←整数そのものには単位が付かない
x＋y＝13 …① 〈和の式〉
x＝3y＋1 …② 〈一方の数の説明の式〉
②を①に代入 (3y＋1)＋y＝13
3y＋1＋y＝13
4y＝12
y＝3 …③
③を②に代入 x＝9＋1
x＝10
連立方程式の解：x＝10，y＝3 A．3，10 ←「10，3」でもOK（普通は小さい順に並べる）
○基本問題7
2つの数の差が4で，大きい方の数は小さい方の数を3倍して2をひいたものに等しいとき，この2つの数を求めなさい。
→話題A「xとyの差が（＝）4である」
話題B「yは（＝）xを3倍して2をひいたものに等しい」
（解答）：代入法
大きい方の数をx，小さい方の数をyとすると， ←整数そのものには単位が付かない
x－y＝4 …① 〈差の式〉 ←差は〈(大きい数)－(小さい数)〉の順！
x＝3y－2 …② 〈大きい方の説明の式〉
②を①に代入 (3y－2)－y＝4
3y－2－y＝4
2y＝6
y＝3 …③
③を②に代入 x＝9－2
x＝7
連立方程式の解：x＝7，y＝3 A．3，7
◎標準問題4
2けたの正の整数があります。その整数は，一の位の数の10倍よりも13大きく，また，十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの数は，もとの整数よりも9小さくなります。もとの整数を求めなさい。
→「2けたの整数」は10x＋y！〔→こちらで復習〕
→「もとの（その）整数」は10x＋y，「十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの数」は10y＋x。
→話題A「10x＋yは（＝），yの10倍よりも13大きい」
また，話題B「10y＋xは（＝），10x＋yより9小さくなります」
（解答）：加減法
もとの整数の十の位の数をx，一の位の数をyとすると，
（もとの整数は10x＋y，位を入れかえた数は10y＋xと表される。） ←なくてもよい
10x＋y＝10y＋13 …① 〈もとの整数の説明の式〉
10y＋x＝(10x＋y)－9 …② 〈入れかえた整数の説明の式〉
①より 10x－9y＝13 …①'
②より 10y＋x＝10x＋y－9
－9x＋9y＝－9 …②'
①'＋②' x＝4 …③
③を①'に代入 40－9y＝13
－9y＝－27
y＝3
連立方程式の解：x＝4，y＝3 A．43
●応用問題4
大小2つの整数があります。2つの数の比は4：3で，大きい数の1/2（2分の1）に小さい数を加えると30になります。この2つの数を求めなさい。
→話題A「x：yは（＝）4：3」
で，話題B「xの1/2にyを加えると（＝）30になる」
（解答）：代入法（応用）
x：y＝4：3 …① 〈比の式〉
(1/2)x＋y＝30 …② 〈和が30になる式〉
①より 4y＝3x …①' ←内項・外項の積（内側同士・外側同士をかける）
②×4 2x＋4y＝120 …②' ←4倍して4yの項を作ると，代入法が楽になる
①'を②'に代入 2x＋3x＝120
5x＝120
x＝24 …③
③を①'に代入 4y＝72
y＝18
連立方程式の解：x＝24，y＝18 A．18，24
●応用問題5
十の位が4である3けたの整数がある。百の位の数と一の位の数の和は10で，百の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は，もとの整数より396小さくなる。もとの整数を求めなさい。
→「十の位が4である3けたの整数」は100x＋40＋y！
→「もとの整数」は100x＋40＋y，「百の位の数と一の位の数を入れかえてできる数」は100y＋40＋x。
→話題A「xとyの和は（＝）10」
で，話題B「100y＋40＋yは（＝），100x＋40＋yより396小さくなる」
（解答）：加減法
もとの整数の百の位の数をx，一の位の数をyとすると，
（もとの整数は100x＋40＋y，位を入れかえた数は100y＋40＋xと表される。）
x＋y＝10 …① 〈和の式〉
100y＋40＋x＝(100x＋40＋y)－396 …② 〈入れかえた数の説明の式〉
②より 100y＋40＋x＝100x＋40＋y－396
－99x＋99y＝－396
両辺を－99でわって x－y＝4 …②'
①＋②' 2x＝14
x＝7 …③
③を①に代入 7＋y＝10
y＝3
連立方程式の解：x＝7，y＝3 A．743
■年齢の比較■
○基本問題8
現在，父の年齢は息子の年齢の3倍です。15年後，父の年齢は息子の年齢の2倍になります。2人の現在の年齢を求めなさい。
→現在「x歳は（＝）y歳の3倍です」
15年後「(x＋15)歳は（＝）(y＋15)歳の2倍です」（2人とも15歳年を取る）
（解答）：代入法
現在の父親の年齢をx歳，息子の年齢をy歳とすると，
x＝3y …① 〈現在の式〉
x＋15＝2(y＋15) …② 〈15年後の式〉
①を②に代入 3y＋15＝2(y＋15)
3y＋15＝2y＋30
y＝15 …③
③を①に代入 x＝45
連立方程式の解：x＝45，y＝15 A．父親…45歳，息子…15歳
◎標準問題5
現在，A君の父親の年齢はA君の年齢の3倍より2歳年上です。14年後には，父親の年齢はA君の年齢の2倍になります。現在の父親とA君の年齢はそれぞれ何歳ですか。
→現在「x歳は（＝）y歳の2倍より2歳年上です」
14年後「(x＋14)歳は（＝）(y＋14)歳の2倍です」（2人とも14歳年を取る）
（解答）：代入法
現在の父親の年齢をx歳，A君の年齢をy歳とすると，
x＝3y＋2 …① 〈現在の式〉
x＋14＝2(y＋14) …② 〈15年後の式〉
①を②に代入 (3y＋2)＋14＝2(y＋14)
3y＋2＋14＝2y＋28
y＝12 …③
③を①に代入 x＝36＋2
x＝38
連立方程式の解：x＝38，y＝12 A．父親…38歳，息子…12歳
●応用問題6
兄と弟の年齢の差は3歳である。3年前，母の年齢は，兄と弟の年齢の和の2倍であった。現在，母の年齢の2倍は，兄と弟の年齢の和の3倍より7歳多い。現在の母と兄の年齢を求めよ。
→登場人物が3人もいるが，「母：x歳，兄：y歳，弟：z歳」とはしないで，兄弟の年齢差が3歳なので，弟を“兄より3歳若い”と考える（問われている母と兄の年齢だけを文字でおく）
→話題A「3年前…(x－3)歳は（＝）(y－3)歳と{(y－3)－3}歳の和の2倍であった」（3人とも3歳若かった）
話題B「現在…x歳の2倍は（＝）y歳と(y－3)歳の3倍より7歳多い」
（解答）：代入法
現在の母親の年齢をx歳，兄の年齢をy歳とすると，
（弟の現在の年齢は(y－3)歳，3年前の年齢は{(y－3)－3}歳と表される。）
x－3＝2[(y－3)＋{(y－3)－3}] …① 〈3年前の式〉
2x＝3{y＋(y－3)}＋7 …② 〈現在の式〉
①より x－3＝2{(y－3)＋(y－6)}
x－3＝2(y－3＋y－6)
x－3＝2(2y－9)
x－3＝4y－18
x－4y＝－15 …①'
②より 2x＝3(y＋y－3)＋7
2x＝3(2y－3)＋7
2x＝6y－9＋7
2x＝6y－2
2x－6y＝－2
両辺を2でわって x－3y＝－1 …②'
②'－①' y＝14 …③
③を①'に代入 x－56＝－15
x＝41
連立方程式の解：x＝41，y＝14 A．母親…41歳，兄…14歳
（別解）：3元1次方程式の利用…習っていれば，弟の年齢をz歳として解くこともできる（が，面倒くさい）
現在の母親の年齢をx歳，兄の年齢をy歳，弟の年齢をz歳とすると，
y－z＝3 …① 〈兄弟の年齢差の式〉
x－3＝2{(y－3)＋(z－3)} …② 〈3年前の式〉
2x＝3(y＋z)＋7 …③ 〈現在の式〉
①より y＝z＋3 …①'
②より x－3＝2(y－3＋z－3)
x－3＝2(y＋z－6)
x－3＝2y＋2z－12
x－2y－2z＝－9 …②'
③より 2x＝3y＋3z＋7
2x－3y－3z＝7 …③'
①'を②'に代入 x－2(z＋3)－2z＝－9
x－2z－6－2z＝－9
x－4z＝－3 …④
①'を③'に代入 2x－3(z＋3)－3z＝7
2x－3z－9－3z＝7
2x－6z＝16
両辺を2でわって x－3z＝8 …⑤
⑤－④ z＝－22
z＝11 …⑥
⑥を①'に代入 y＝11＋3
y＝14 …⑦
⑥,⑦を②'に代入 x－28－22＝－9
x＝41
連立方程式の解：x＝41，y＝14，z＝11 A．母親…41歳，兄…14歳
- * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * - * -
よくある質問
（上の「○基本問題1」を例に挙げてみます。）
・冊数の式（①）は自分でも思いつきますが，代金の式（②）が分かりません。
・どうして，代金の式（②）が150x＋120y＝1200になるのですか？
・150xや120yの意味が分かりません。
この手の質問や疑問は，意外と多く聞かれます。実はこれ，中学1年生で初めて文字式を習ったときにも練習した内容なのですが，その復習から始めてみます。
1冊150円のノートを1冊買うなら，当然150円だけ払えば済みます。では，2冊ではどうでしょう。150円のノートが2冊ですから，もちろん150＋150＝300(円)としても間違いではありませんが，150×2＝300(円)と考えます。同様に，150円のノートを3冊，4冊と買う場合，それぞれの代金は，150×3＝450(円)，150×4＝600(円)のように計算できます。その点では，1冊しか買わない場合も，厳密に言えば150×1＝150(円)という“計算”をしているわけですね。つまり，ノートの代金は，単価（1冊分の代金）と冊数をかけて求めればよいのです。
これは，冊数がx冊になっても同じです。1冊のときは150×1，2冊のときは150×2，3冊のときは150×3，4冊のときは150×4と考えるので，x冊のときは150×xと考えます。ただし，文字式では「×」の記号を書かない決まりがあるので，単に150x(円)として考えますよ。ですから，1冊150円のノートをx冊買ったら，その代金は150x円になり，また，1冊120円のノートをy冊買ったら，その代金は120y円になるわけです。
最後に，1200円は150x円と120y円の合計金額（和）なので，たし算をして150x＋120y＝1200という式ができあがります。