第２章第１節問題（暫定版）

後で書き直す可能性あり.

http://file.buturi.blog.shinobi.jp/pathintegral2_1.pdf

問題2-1

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$
よってラグランジュ方程式は
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=m\ddot{x}=0
\]
この解は
\[
x=v(t-t_a)+x_a
\]
とかける.
\[
\dot{x}=v=\frac{x_b-x_a}{t_b-t_a}.
\]
よって古典的運動に対する作用は
\[
S_{cl}=\int _{t_a}^{t_b}Ldt=\int_{t_a}^{t_b} \frac{1}{2}mv^2 =\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}.
\]

問題2-2
\[
L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2-\omega ^2x^2)
\]
ラグランジュ方程式は
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=m\ddot{x}-m\omega ^2x=0
\]
よって

\[
\ddot{x}=-\omega ^2x.
\]

これを解くと
\[
x=ae^{i\omega t}+b e^{-i\omega t}.
\]
よって
\[
x_a=ae^{i\omega t_a}+b e^{-i\omega t_a}
\]
\[
x_b=ae^{i\omega t_b}+b e^{-i\omega t_b}.
\]
上式から$a,b$を求めると
\[
a=\frac{x_ae^{-i\omega t_b}-x_be^{-i\omega t_a}}{e^{-i\omega T}-e^{i\omega T}}
\]
\[
b=\frac{x_ae^{i\omega t_b}-x_be^{i\omega t_a}}{e^{-i\omega T}-e^{i\omega T}},
\]
ここで$T=t_b-t_a$.
\[
L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2-\omega ^2x^2)=-m\omega ^2(a^2e^{2i\omega t}+b^2e^{-i\omega t})
\]
\[
\int _{t_a}^{t_b}Ldt=-\frac{m\omega ^2}{2i\omega }(a^2(e^{2i\omega t_b}-e^{2i\omega t_a})-b^2(e^{-2i\omega t_b}-e^{-2i\omega t_a})).
\]
これに求めた$a,b$の値を代入すると古典的作用は
\begin{eqnarray*}
&&-\frac{m\omega ^2}{2i\omega }((\frac{x_ae^{-i\omega t_b}-x_be^{-i\omega t_a}}{e^{-i\omega T}-e^{i\omega T}})^2(e^{2i\omega t_b}-e^{2i\omega t_a})-(\frac{x_ae^{i\omega t_b}-x_be^{i\omega t_a}}{e^{-i\omega T}-e^{i\omega T}})^2(e^{-2i\omega t_b}-e^{-2i\omega t_a}))\\
&=&
\frac{m\omega }{2\sin \omega t}((x_a^2+x_b^2)\cos \omega T-2x_ax_b)
\end{eqnarray*}

問題2-3
\[
L=\frac{m\dot{x}^2}{2}-Fx
\]
ラグランジュ方程式は
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=m\ddot{x}+F=0
\]
よって
\[
\ddot{x}=-\frac{F}{m}.
\]
これを解くと
\[
x(t)=-\frac{F}{2m}t^2+v_0t+c
\]
\[
x_a=-\frac{F}{2m}t_a^2+v_0t_a+c
\]
\[
x_b=-\frac{F}{2m}t_b^2+v_0t_b+c
\]
これから$v_0, c$を求めると
\[
v_0=\frac{x_b-x_a}{T}+\frac{F}{2m}(t_a+t_b),
\]
\[
c=\frac{x_at_b-x_bt_a}{T}-\frac{F}{2m}t_at_b.
\]
\[
L=\frac{m\dot{x}^2}{2}-Fx=\frac{F^2t^2}{m}-2Fv_0t+\frac{mv_0^2}{2}-Fc
\]
\[
\int _{t_a}^{t_b}Ldt=\frac{F^2(t_b^3-t_a^3)}{3m}-Fv_0(t_b^2-t_a^2)+(\frac{mv_0^2}{2}-Fc)(t_b-t_a)
\]
これに求めた$v_0, c$の値を代入して$\frac{F^2}{m}, F, \frac{m}{T}$を係数にもつ項をまとめると

\begin{eqnarray*}
&&\frac{F^2(t_b^3-t_a^3)}{3m}
-F(\frac{x_b-x_a}{T}+\frac{F}{2m}(t_a+t_b))(t_b^2-t_a^2)\\
&+&(\frac{m}{2}(\frac{x_b-x_a}{T}+\frac{F}{2m}(t_a+t_b))^2-F(\frac{x_at_b-x_bt_a}{T}-\frac{F}{2m}t_at_b))(t_b-t_a)\\
&=&
\frac{F^2}{m}\frac{1}{24}(t_a-t_b)^3
+F\frac{1}{2}(t_a-t_b)(x_a+x_b)
+\frac{m}{2T}(x_b-x_a)^2\\
&=&
\frac{m}{2T}(x_b-x_a)^2-\frac{FT}{2}(x_a+x_b)-\frac{T^3F^2}{24m}
\end{eqnarray*}

2-4

古典力学では運動量は
\[
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
\]
と定義される.

端点での運動量が
\[
\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) _{x=x_a}=-\frac{\partial S_{cl}}{\partial x_a}
\]
となることを示す.
\begin{eqnarray*}
\delta S&=&\delta x\frac{\partial L}{\partial x}\Big| _{t_a}^{t_b}-\int _{t_a}^{t_b}\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}L\right)\\
&=&
-\delta x\frac{\partial L}{\partial x}\Big| _{t_a}
\end{eqnarray*}

2-5

古典力学ではエネルギーは
\[
E=-L+\dot{x}p
\]
で定義される.

\[
-L+\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=-\frac{S_{cl}}{\partial t_b}
\]
を示す.

\[
S_{cl}=\int L(x_{cl}, \dot{x}_{cl},t)dt
\]

$x_{cl}$は$x_b$に達する時間によって決まる古典軌道.

\begin{eqnarray*}
S(t_b+\delta )&=&
\int _{t_a}^{t_b+\delta }L(x_{cl,t_b+\delta },\dot{x}_{cl,t_b+\delta },t)dt\\
&=&
\int _{t_a}^{t_b}L(x_{cl,t_b+\delta },\dot{x}_{cl,t_b+\delta },t)dt+
\int _{t_b}^{t_b+\delta }L(x_{cl,t_b+\delta },\dot{x}_{cl,t_b+\delta },t)dt\\
&=&
S(t_b)+
\int _{t_a}^{t_b}\delta \frac{\partial x_{cl,tb}}{\partial t_b}\frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)
+\delta \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial x_{cl,tb}}{\partial t_b}\right) \frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)dt
+\delta L(t_b)\\
&=&
S(t_b)+
\int _{t_a}^{t_b}\delta \frac{\partial x_{cl,tb}}{\partial t_b}\frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)
-\delta \frac{\partial x_{cl,tb}}{\partial t_b} \frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)dt\\
&+&\left[ \delta \frac{\partial x_{cl, t_b}}{\partial t_b}\frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)\right] _{t_a}^{t_b}
+\delta L(t_b)\\
\end{eqnarray*}

\[
x_{cl, t_b}(t_b)-x_{cl, t_b+\delta }(t_b)\simeq \dot{x}_{cl,t_b+\delta }\delta
\]
を用いて

\begin{eqnarray*}
S(t_b+\delta )&=&
S(t_b)
-\frac{dx_{cl, t_b}}{dt}\frac{\partial L}{\partial x}(x_{cl, t_b},\dot{x}_{cl, t_b}, t)
+\delta L(t_b)
\end{eqnarray*}