第20章 演算子

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第20章　演算子

20-1　操作と演算子

ある状態にある操作を施すと新しい別の状態が生成されることを
\[
|\phi >=\hat{A}|\psi >
\]
と表現できる．

これは
\[
<i|\phi >=\sum _{j}<i|\hat{A}|j><j|\psi >
\]
とも書ける．

$A_{ij}=<i|A|j>$とおき
$\hat{A}^{\dagger}$を$A^{\dagger}_{ij}=A_{ji}^*$となる演算子として
定義すると
\[
<\phi |\hat{A}|\psi >^*=<\psi |\hat{A}^{\dagger }|\phi >
\]
となる．

20-2　平均エネルギー

物理的観測可能量$A$が
量子力学的演算子$\hat{A}$
に対応しているとき
状態$|\psi >$
における$A$
の平均値は
\[
<A>_{av}=<\psi |\hat{A}|\psi >\hspace{10mm}(20.20)
\]
で与えられる.

20-3　原子の平均エネルギー

前節の結果を使うと波動関数$\psi $で記述されている状態の原子の平均エネルギーは
\[
<E>_{av}=\int \psi ^*(x)\left\{\ -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right\} \psi(x)dx .
\]

20-4　位置の演算子

まず位置の平均値を積分を用いて表した．
それを(20.20)の形にかけるとして$\hat{x}を$もとめた．

\[
<x|\alpha >=x<x|\psi >\hspace{10mm}(20.38),
\]
ここで$|\alpha >=\hat{x}|\psi >$.

((20.39), (20.40)のあたりの議論が不明.棚上げ問.
(20.38)から(20.40)が導けて以下の式の二行目から三行目に(20.40)をもちいて
\begin{eqnarray*}
\int <x|\hat{x}|x'>\psi (x')dx'&=&\int <x|\hat{x} |x'><x'|\psi >dx'\\
&=&<x|\hat{x}|\psi >\\
&=&x<x| \psi >\\
&=&x\psi (x)
\end{eqnarray*}
となりこれより(20.39)が導けるということでは？
)

20-5　運動量の演算子

(どれが定義でどれが結果かが不明.棚上げ問)

\[
<p|\beta >=p<p|\psi >,
\]
で状態$|\beta >$を定義すると
\[
<p>_{av}=<\psi |\beta >,
\]
\[
|\beta >=\hat{p}|\psi >.
\]
座標表示では
\[
<x|\beta >=\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx}\psi (x)
\]
となる.

20-6　角運動量

($\psi '$は$-\epsilon $回転した座標系での波動関数？)

無限小の角$\epsilon $の回転の演算子を用いて
\[
R_z(\epsilon )|\psi >=\left( 1+\frac{i}{\hbar }\epsilon \hat{L}_z\right)
\]
により$\hat{L}_z$を定義する.
\[
\hat{\mathcal{L}}_z=x\hat{\mathcal{P}}_y-y\hat{\mathcal{P}}_x
\]
となる.

\[
\hat{\mathcal{L}}_x\hat{\mathcal{L}}_y-\hat{\mathcal{L}}_y\hat{\mathcal{L}}_x=i\hbar \hat{\mathcal{L}}_z
\]

20-7　平均値の時間的変化

\[
\frac{d}{dt}<A>_{av}=<\psi |\hat{\dot{A}}|\psi >
\]
によって演算子$\hat{\dot{A}}$を定義する.

\[
\hat{\dot{A}}=\frac{i}{\hbar }(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H})+\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}
\]
となる.

これを用いて位置と運動量の平均値に
\[
\hat{\dot{x}}=\frac{\hat{p}_x}{m}
\]
\[
\hat{\dot{p}}=-\frac{dV}{dx}
\]
という古典的結果と同じ形の関係を導いた.

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