（過去記事１）で粗く書いた遺伝率の定義と性質を
（過去記事２）で用意した数学的準備を使って
厳密に書きなおす．
確率空間（S,p）の確率変数X,A,Bがあり，
AとBは独立でσ[X]>０を仮定し，
X=A+B (*1)
と書けたとする．
（過去記事２）の命題１よりσ[X]=0の場合はXは定数となり詰まらない．
AをXの先天的因子，BをXの後天的因子と呼んだ時，
Var[A]/Var[X], Var[B]/Var[X]
をそれぞれ遺伝率，非遺伝率と呼ぶ．
（過去記事２）の命題３(a=b=1)より，
Var[X]=Var[A]+Var[B]
だから，
遺伝率＋非遺伝率＝１
である．
以下はσ[A],σ[B]も正を仮定する．
A':=(A-E[A])/σ[A]
は（過去記事２）命題２，３を使う事により，E[A']=0, Var[A']=1
が示せる．
同様にB'も定義できて，
σ[A] A' + σ[B] B'=A+B-E[A]-E[B]=X-E[X]
ここで
X':=(X-E[X])/σ[X]
と置けば
X'=(Var[A]/Var[X])^(1/2) A'+(Var[B]/Var[X])^(1/2) B',
E[X']=0,
Var[X']=(1/Var[X])Var[X-E[X]]=1,
つまり式（＊１）は，
X,A,Bをそれぞれ平均０，標準偏差１の確率変数X',A',B'へ線形変換（一次変換）し，
X'=(遺伝率)^(1/2) A'+(非遺伝率)^(1/2) B', （＊２）
と書けるわけである．これが（過去記事１）の（＃１）の意味である．
Xを身長とし遺伝率を86％とするなら，
Xを平均０，標準偏差１の偏差値X'へ線形変換することにより，
X'=0.86^(1/2) A'+0.14^(1/2) B'
=0.927 A'+0.374 B'
と分解できるわけである．A'，B'は先天的因子A,後天的因子B'を線形変換し，平均０，標準偏差１としたものである．
ただし，これでは（＊１）という分解がまずありきの話である．
Xを例えば，２０１０年18－29才日本人男子の身長としたとき，どうやって（＊１）を仮定し，それによって８６％という遺伝率を計算するか，という話になってくる．
（過去記事１）で予告したように双子のデータを使う．
結論を先に言えば，
（身長の遺伝率）＝２＊（（一卵性双生児の身長の相関係数）－（二卵性双生児の身長の相関係数）） （＊３）
になるのであるが，何故，どのような仮定のもとで（＊３）がでるのか？
それは次回書く．
続き
（過去記事１）
（過去記事２）
