（過去記事１）の遺伝率の定義の話を数学的にやりなおす
ために，数学の基礎をまとめておく．
最初から最後まで読むのではなく，別の記事を読むときに，用語の定義や法則が分からなくなった時に読みに来る程度で良い．
このブログで必要な程度に収めてある．どれも高校数学＋アルファで読める程度の浅い内容である．
Xが確率変数であるとは，
Xが確率的に定まる実数値のことをいう．
より厳密には，
Ｓ：空でない有限集合
[0, 1]:=(０以上１以下の実数値全体）
ｐ：Ｓ→[0, 1] 写像で，
1=Σ_{s∊Ｓ}p(s)
を満たすとき，
Ｓはｐを確率測度とする確率空間である，という．
組（S,p）のことを確率空間ということもある．
XがSから実数全体集合Rへの写像である時，
Xは確率空間(S,p)における確率変数と呼ぶ．
Xの平均E[X]と分散Var[X]と標準偏差σ[X]は次で定義される．
E[X]：＝Σ_{s∊Ｓ}p(s)X(s)，
Var[X]:=E[(X-E[X])^2],
σ[X]:=(Var[X])^(1/2).
命題１：σ[X]=0 <=> 任意のs∊Sに対し, p(s)=0 or X(s)=E[X].
（証明：定義から易しい）
命題２：確率空間(S,p)における確率変数X,Yと任意の定数a, b, cに対し，
E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c
（ここで確率変数aX+bY+cは，(aX+bY+c)(s):=a X(s)+b Y(s)+cで定義される．）
（証明：定義から易しい）
確率空間(S,p)における確率変数X,Yが独立であるとは，
E[XY]=E[X]E[Y]
であることを言う．
ここで確率変数XYは，実数の積(XY)(s)=X(s) Y(s)で定義される．
命題3：X,Yが独立である時
Var[aX+bY+c]=a^2 Var[X]+b^2 Var[Y] (*1)
（証明：定義から容易に証明できる．）
X,Yの共分散Cov[X,Y]と相関係数Corr[X,Y]は次で定義する．
Cov[X,Y]:=E[(X-E[X])(Y-E[Y])],
Corr[X,Y]:=Cov[X,Y]/(σ[X]σ[Y]) （ただしσ[X]σ[Y]≠０のときだけ定義する）.
命題4
（１）Corr[X,Y]は-1以上１以下の実数値をとる．
（２）Corr[X,Y]＝0 <=> X,Yが独立
（３）Corr[X,Y]=1 <=> ある定数ｃ>０で全てのｓ∊Ｓに対しp(s)=0 or (Y(s)-E[Y])/σ[Y]= c(X(s)-E[X])/σ[X]
<=> ある定数b>０とある定数aで全てのｓ∊Ｓに対しp(s)=0 or Y(s)=a+b X(s)
（4）Corr[X,Y]=-1 <=> ある定数ｃ<０で全てのｓ∊Ｓに対しp(s)=0 or (Y(s)-E[Y])/σ[Y]= c(X(s)-E[X])/σ[X]
<=> ある定数b<０とある定数aで全てのｓ∊Ｓに対しp(s)=0 or Y(s)=a+b X(s)
（証明：略．以下のサイトなど参照．
）
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