(過去記事１）などで言ってきたように，
R4（合格可能性８０％）
の定義は不明です．
R4の定義には２つ説があります．
（１）R4偏差値ちょうどの人の合格率がちょうど８０％（の近似値）
（２）R4偏差値以上の人の合格率がちょうど８０％（の近似値）
（１）は私が（過去記事２）で書いた統計的処理による決め方です．
（２）は玄人思考さんのブログ記事（2024.4.8)の説です．
（過去記事１）（１）でも指摘した通り，成績分布を考慮していない点で，
本来（２）はおかしくて（１）であるべきなのですが，
大手塾勤務経験のある玄人思考さんがおっしゃっているのだから信ぴょう性はあります．
ブログで大手塾を批判するのは意味があると思いますが，受験生や民間の指導者の立場からすれば，
おかしな手法でR4一覧が作られているなら，こちらもそれを込みで考えなければなりません．
ただし，ここで注意．ここで想定しているのは地域のトップ校で，上に競合校がいない場合です．
なぜなら，もしも上に競合校がいると，R4よりだいぶ上の生徒はそちらに流れ，R4近辺の人とR4以上の人の母集団として変わらなくなり（１）（２）の差がなくなるからです．
玄人思考さんも最難関校を想定して，難関校以下の場合は合格率は高くなると言っていますので，整合性が取れます．
で，最難関校で（１）と（２）でどのくらいの差があるのか考察します．
その前に確認ですが，R4でなくR3（合格可能性５０％）について，R4と同様に，
（３）R3偏差値ちょうどの人の合格率がちょうど５０％（の近似値）
（４）R3偏差値以上の人の合格率がちょうど５０％（の近似値）
の２解釈が一見ありえます．
しかしこれはさすがに（４）はあり得ないでしょう．
玄人思考さんも（４）までは言っていません．
2024年麻布中学でも実質倍率２．２６倍だから，1/2.26=44.2%
だから約半分が合格しています．
実質倍率が2.0倍だとすると，（４）の定義だとR3=-∞になってしまいます．
だから（３）を採用することにします．
（過去記事３）でも書いた通り，
R3値はR4値より信用できる
わけです．
学力偏差値は平均５０，標準偏差１０ですが，WolframAlphaで計算する時重くなるので，以下は平均０，標準偏差１の基準で計算します．
（過去記事３）より，
（＊０） R4ーR3=０．３７
と仮定します．
学力偏差値表記なら
R4-R3=3.7.
（過去記事１）で使ったロジスティック関数
g(x,a,b):=1/(1+e^(-b(x-a)))
を考えます(b>0)．
さて，
V(x,R3,b):=∫_x^∞ g(y,R3,b)f(y,0,1) dy / ∫_x^∞f(y,0,1)dy
と定義します．
ここで，f(x,a,d)は（過去記事１）でも出た平均a，標準偏差ｄの正規分布曲線
f(x,a,d):=(1/(d*sqrt(2π))exp(-(x-a)^2/(2d^2))
です．
V(x,R3,b)は，偏差値ｘ以上の人の合格率を示します．
（１）説を採用すると，
(*1) 0.8=g(R3+0.37,R3,b)
が成立し，
(*1)を解くと，R3の値に関係なく
b=3.74674．
(これは学力偏差値1ポイント上がることで最大37%合格率が上昇することを表します)
（２）説を採用すると，
(*2) V(R3+0.37, R3,b)=0.8
が成立するわけです．
Ｒ３＝2 (R3学力偏差値７０)の時．
このとき、
V(2.37,2,3.74674)=0.906582...
です．
つまり
（１）の解釈だと，R4以上の生徒全体の合格率は90.7％です．
(*2)を解くと，(難しいので概算値として）
2.12895<b<2.12900
なので
b=2.1290
とします．(bの値がさっきより小さくなりました。ロジスティック関数の最大傾きが小さくなり、ゆっくり上昇するカーブになったわけです。だから80%合格ラインはR3から遠ざかります。)
そして、
g(2.37,2,2.1290)=0.6873...
となります．つまり，
（２）の解釈だと，R4偏差値ちょうどの合格率は６８．７％です．
そして，
0.8=g(x,2,2.12900)
を解いて，
x=2.65115...(50+10x=76.5115)
つまり，
（２）の解釈だと合格率８０％ちょうどの偏差値は７３．７ではなく，７６．５です．（２．８ポイントUP）
ここで一つ突込みをいれておくと，R3R4偏差値が７０までいくような最難関校とその模試の組み合わせは悪いです．なぜなら合否は順位で決まりますが，偏差値７０以上の順率（順位÷受験生数）は正規分布の２．３％から誤差が出ます．その誤差の大きさは偏差値７０近辺の人ではなく，偏差値４０－６０のボリュームゾーンの人たちが決めます．よって，偏差値７０近辺のひとがボリュームゾーンになるような模試と入試にあった問題をあたえる志望校別模試の方がより正確に出ます．
つづく
（過去記事１）
（過去記事２）
（過去記事3）
