Accademia Nuts -9ページ目

部分分数に分解　場合分け

を求める。

参考書の解答では、

ｎ＝１とｎ≧２で場合分けしてたり、していなかったりする。

なにが正しいのか？

筆者の中で決定的な結論はでていないが、そこを詳しく検討してみたい。

【解答】

$\begin{align*} S_n&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}\\ 2S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) \end{align*}$ 　　・・・①

ここまでは、ｎ＝１，２，３，…で正しい式である。

よく使う ${\color{Blue}S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n }$ 　・・・★

と同じ。「＋・・・＋」というのは、そういうものである。

ここから、（もしあれば）場合分けが始まる。

ｎ≧２のとき　①は

$\begin{align*} 2S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\\ &\qquad\cdots+ \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\\ \end{align*}$

もちろんまだ続くが、１行１行見ていく。

【疑問Ⅰ】「２S_n＝」の式の「＋・・・＋」は、終わりが２項になっているが、

これは①と本質的に違いがあるのか？

　【A説】「ｎ＝１」とすると成り立たない（１／０）のでｎ≧２で正しい。

　【B説】終わりの部分も★と同じように考えて、これはｎ≧１で正しい。

　【C説】参考書の著者は、ここを曖昧にしている。

正直よくわからないが、Bがいいなあ・・・

Aが正しいとすると

$\begin{align*} 2S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\\ &\qquad\cdots+ \left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\\ \end{align*}$

と書いたら、場合分けは、ｎ＝１、ｎ＝２、ｎ≧３になる。

続きを見ていく。

【疑問Ⅱ】２つ目の等号はｎ＝１で成り立たないのか？

　【D説】「ｎ＝１」とすると成り立つ（中間の２項は結果的に消える）のでｎ≧１で正しい。

　【E説】「＋・・・＋」の行はｎ≧２でしか成り立たないので、後につづく行は、

　　　　　たとえｎ＝１を代入して成り立とうが、ｎ≧２でしか成り立たない。

　【F説】ｎ＝１では中間の２項を書く必然性がないのでｎ≧２とすべきである。

　【G説】参考書の著者は、ここを曖昧にしている。

これもよくわからないが、個人的にはF。

F説の裏付けとして、具体的にｎ＝１，２，３の場合を見てみる。

ｎ＝１のとき　①は

$\begin{align*} 2S_n&= \frac{1}{1}-\frac{1}{3}\\ \end{align*}$

ｎ＝２のとき　①は

$\begin{align*} 2S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) \\ &=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \end{align*}$

ｎ＝３のとき　①は

$\begin{align*} 2S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\\ &=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \end{align*}$

プラスマイナスで項を消したとき、

ｎ≧２の場合は、自然に、４項が残る。

よって、

$\begin{align*} S_n&=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*}$

（おわり）

円錐の切断　放物線

円錐面の方程式

$x^2+y^2=z^2$ 　・・・①

円錐面②の母線に平行な平面の方程式

$z=y+1$ 　・・・②

（この平面は、ｘ軸方向から見ると直線に見える。）

（左：ななめ上から見た図、右：ｘ軸方向から見た図）

①と②の共通部分を求める。

①かつ②

⇔ $x^2+y^2=(y+1)^2,~z=y+1$

⇔ $x^2=2y+1,~z=y+1$

⇔ $y=\frac{1}{\,2\,}x^2-\frac{1}{\,2\,},~z=y+1$ 　・・・③

よって、左のｘとｙの方程式より、

とりあえずｚ軸方向から（真上から）見る限り、

放物線であることがわかった。

（ｚ軸方向から見た図）

さらに、平面②上で放物線であることを確かめる。

平面②上に、

直線 $x=s,~y=-1,~z=0$ をｓ軸、

直線 $x=0,~y=\frac{t}{\sqrt{2}}-1,~z=\frac{t}{\sqrt{2}}$ をｔ軸とする

ｓｔ座標を設定する。

（ｓの１、ｔの１が、ｘｙｚ座標の１と同じ長さになるようにしてある。）

平面②上、ｓｔ座標で（ｓ，ｔ）と表される点は、ｘｙｚ座標で

$x=s,~y=\frac{t}{\sqrt{2}}-1,~z=\frac{t}{\sqrt{2}}$

と表される。

（ななめ上から見た図）

③をｓ、ｔの方程式に変換すると、

$\begin{align*} \frac{t}{\sqrt{2}}-1=\frac{1}{2}s^2-\frac{1}{2},&\quad \frac{t}{\sqrt{2}}=\left(\frac{t}{\sqrt{2}}-1\right)+1\\ t=\frac{1}{\sqrt{2}}&s^2+\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}$

よって、平面②上、確かに放物線である。

（平面②に垂直な方向から見た図）

（おわり）

平均変化率は本当に「平均」なのか？

関数ｆ（ｘ）について

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

を、ｘがaからｂまで変化するときの平均変化率という。

- - -

「平均変化率」といっているけど、本当に「平均」なのだろうか？

ｘがaからｂまで変化する過程で、関数ｆ（ｘ）の変化率はさまざまに変化する。

たとえば、下図では、

I のところの変化率はあまり大きくないが、

J のところの変化率はけっこう大きそうである。

このように変化率といってもいろいろある中で、

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

は、それらの平均値なのだろうか。

変化率のすべてを相手にするのは無理なので、

以下では、シンプルな例を一つ考える。

a≦ｘ≦ｂの区間をｎ等分して、そうしてできる小区間ごとの変化率を考え、

その平均値を求めてみよう。

ｎ等分してできる小区間の幅は

$\frac{b-a}{n}$

であるから、ａ_0、ａ_1、ａ_2、・・・、ａ_nを

$\begin{align*} a_0&=a~\\ a_1&=a+\frac{b-a}{n}~\\ a_2&=a+2\cdot\frac{b-a}{n}~\\ a_3&=a+3\cdot\frac{b-a}{n}~\\ &\cdots\cdots ~\\ a_n&=b \end{align*}$

と定めれば、各小区間は

$a_0\leqq x\leqq a_1,~a_1\leqq x\leqq a_2,~\cdots\cdots ,~a_{n-1}\leqq x\leqq a_n,~$

という範囲で表される。

小区間ごとの変化率を計算して、それらの平均値Mを求めてみよう。

$\begin{align*} M&=\frac{1}{n}\left\{ \frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}}+ \frac{f(a_{n-1})-f(a_{n-2})}{a_{n-1}-a_{n-2}}+ \cdots\cdots \frac{f(a_1)-f(a_{0})}{a_1-a_{0}} \right\}\\ &=\frac{1}{n}\left\{ \frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{\frac{b-a}{n}}+ \frac{f(a_{n-1})-f(a_{n-2})}{\frac{b-a}{n}}+ \cdots\cdots \frac{f(a_1)-f(a_{0})}{\frac{b-a}{n}} \right\}\\ &=\frac{f(a_n)-f(a_0)}{b-a}\\ &=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align*}$

よって、ｎ等分してできる小区間の変化率の平均は、「平均変化率」に等しい。

根拠なく「平均」と名乗っているわけではなかった。

（おわり）

部分分数に分解 場合分け

円錐の切断 放物線

平均変化率は本当に「平均」なのか？

部分分数に分解　場合分け

円錐の切断　放物線