Accademia Nuts -8ページ目

直角双曲線の接線へ中心から下した垂線の足の軌跡

直角双曲線x^2-y^2=1の接線へ原点Oから下した垂線の足Pの軌跡を求める。

接点の座標は(1/cos t, tan t)とすると、接線の方程式は

x/cos t-y tan t=1

である。

接線の法線ベクトルは(1/cos t, -tan t)であるから、

P(X,Y)とすると

$\begin{cases} (X,Y)=k\left(\dfrac{1}{\cos t},~-\tan t\right)\cdots\textcircled{\scriptsize{1}}\\ \dfrac{X}{\cos t}-Y\tan t=1\cdots\textcircled{\scriptsize{2}} \end{cases}$

ここからk,tを消去してX,Yの方程式を作りたい。

①を②に代入して、

$\begin{matrix} k\left(\dfrac{1}{\cos^2 t} +\tan^2 t\right )=1\\ k=\dfrac{\cos^2 t}{1+\sin^2 t} \end{matrix}$

これを①に代入して

$X=\dfrac{\cos t}{1+\sin^2 t},~Y=\dfrac{-\sin t\cos t}{1+\sin^2 t}$

よって、Y=-Xsin tである。

X=0のときはY=0であるから、Pは原点Oに一致する。

X≠0のときはsin t=-Y/Xとできて、

$\begin{align*} &X^2=\dfrac{\cos^2 t}{(1+\sin^2 t)^2}=\dfrac{1-\sin^2 t}{(1+\sin^2 t)^2} =\dfrac{1-(\frac{Y}{X})^2}{\{1+(\frac{Y}{X})^2\}^2}\\ &X^2\left\{1+\left(\frac{Y}{X}\right)^2\right\}^2=1-\left(\frac{Y}{X}\right)^2\\ &\left(X^2+Y^2\right)^2=X^2-Y^2\\ \end{align*}$

この方程式は結果的にX=0,Y=0も解にもつ。

よって、垂線の足Pの軌跡は

$\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$

で表される曲線である。

離散の場合の確率密度関数

1個のさいころを1回投げるとき、出た目Xを確率変数とした確率分布を考える。

この確率分布の確率密度関数は

$f(x)=1\quad(x=1,2,3,4,5,6)$

定義域は、確率変数Xの取りうる値ということで、自然数の集合{1,2,3,4,5,6}である。

確率密度関数というからには、積分することで確率が求められるはずである。

たとえば、１の目が出る確率は1/6だから

$\int_1^1 f(x)dx=\frac{1}{6}$

となるはずである。

しかし、積分の性質からいえば、左辺は0ではないか。

離散分布では、高校数学の通常の積分はうまく機能しない。

積分（測度）が”連続関数向き”のものだからである。

定積分は、グラフとx軸が囲む部分の面積である。区分求積法によると、

$\begin{align*} \int_a^b f(x)dx&=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{b-a}{n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(x_k\right)\cdot(x_{k}-x_{k-1}) \end{align*}$

これは、たくさんの長方形を足し合わせた極限が積分だということである。

縦の長さf(x_k)、横の長さx_k-x_{k-1}の長方形を無数に足すのである。

離散の場合は、定義域が点々なので（線ではないので）、

長方形の横の長さが0になり、それで面積も0になってしまう。

そこで、点々に長さ（測度）を与えるため、

横の長さを「集合の要素の個数」で測ることにする。

集合の要素の個数は、教科書ではn(A)などと書かれるが、ここでは

#({1})=1, #({1,3,5})=3

などと#(A)と書くことにする。

$\int_{\{1\}}f(x)d(\#)=f(1)\cdot \#(\{1\})=\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}$

$\begin{align*} \int_{\{1,3,5\}}f(x)d(\#)&=f(1)\cdot \#(\{1\})+f(3)\cdot \#(\{3\})+f(5)\cdot \#(\{5\})\\ &=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{2} \end{align*}$

「奇数が出る確率」などを計算するには、積分範囲は集合で書く方が便利だからそうした。

最後に

1個のさいころを1回投げるとき、出た目を4で割った余りXを確率変数として考えてみる。

確率密度関数は

4で割った余りが1以下である確率は

$\begin{align*} \int_{\{0,1\}}f(x)d(\#)&=f(0)\cdot \#(\{0\})+f(1)\cdot \#(\{1\})\\ &=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{2}{6}\cdot 1=\frac{1}{2} \end{align*}$

（おわり）

グラフのたし算と接線

図は y=sinx のグラフです。

x を足して y=x+sinx にしてみます。（青い曲線）

sinx にｘを足すと、極値の位置は微妙にずれます。

y=x+sinx のグラフに、２個以上の点で接する接線の方程式は

どのようなものになるでしょうか。

とりあえず１つは、簡単にわかります。

この接線の方程式は y=x+1 です。

y=sinx のグラフに、２個以上の点で接する接線として、

直線 y=1 があります。

y=sinx, y=1 の両方に x を足すと

y=x+sinx, y=x+1 となります。

すべての実数 x に対して

$\sin x\leqq 1$

ですから、y=1 は必ず y=sinx の上にあり、

等号が成り立つ x においてグラフが接します。

$\begin{align*} \sin x< 1 ~\Leftrightarrow~ x+\sin x< x+1\\ \sin x= 1 ~\Leftrightarrow~ x+\sin x= x+1 \end{align*}$

ですから、同じ理屈で、

y=x+1 が y=x+sinx に接することがわかります。

また、接するときの x の値は同じです。

（おわり）