平行四辺形の二等分線

今回は、高校数学ではなく、

中学数学です。

＜問題＞

図のように、大小二つの長方形で、

小さいほうが、大きいほうの内側にあるものを考える。

このとき、二つの長方形で囲まれる部分（図の灰色部分）の

面積を二等分するような直線を一本引け。

一昔前の世代の人間であるためか、

筆者はこの手の問題を見たことがありませんでした。

もしかすると、難関私立の入試問題で見たことあったかもしれませんが、

記憶が定かではありません。

新課程の人にとっては「よくある問題」の一つなんでしょうか？

まあ、解法を知らない段階から、自分で解法を見つけるのは

ちょっと大変ですね。

でも、問題文には長さや角度の設定がなく、トポロジカルな問題なので、

簡単な方法で解けそうだという予感はします。

解法をまだ知らない幸運な人は是非考えてみてください。

以下、解法を紹介しますが、

その前に、「解法が正しい」ことの根拠となっている事柄を

定理として書いておきたいと思います。

＜定理＞

平行四辺形の二つの対角線の交点を通る直線は、

その平行四辺形の面積を二等分する。

＜証明＞

平行四辺形の二つの対角線の交点を通る直線

を引く。（下図）

上図の黄緑色の二つの三角形は合同である。

なんとすれば、

（１）平行四辺形の二つの対角線は中点で交わるから、

　　一辺が等しい。

（２）対頂角は等しい

（３）錯角が等しい

よって、（１）～（３）より、一辺とその両端の角がそれぞれ

等しいので合同である。

したがって、黄緑色の三角形の面積は等しい。

同じことが、白色の三角形、水色の三角形でもいえる。

ゆえに、平行四辺形はに等分されている。　（証明おわり）

この定理を頭に入れておけば、

上の問題をさらっと解くことが出来ます。

「（平行四辺形の）二つの対角線の交点」と書くと長ったらしいので

以下、「（平行四辺形の）中心」と書くことにします。

ここだけでの呼び名です。

＜解答＞

大きい長方形の中心と、小さい長方形の中心とを

通る直線を引けばよい。（下図）

これが面積を二等分していることは以下のようにしてわかる。

まず、長方形は平行四辺形であるから、

長方形に対しても、上で示した定理は成り立っている。

この直線（以下直線ｍと呼ぶ）は、

小さい長方形の面積を二等分しているし、

大きい長方形の面積（灰色部分＋小さい長方形の面積）も

二等分している。

よって、大きい長方形の面積をＳ、小さい長方形の面積をｓとすると、

灰色部分のうち、直線ｍよりも

上側にある部分の面積は、

下側にある部分の面積は、

となり等しい。

したがって、直線ｍによって、灰色部分の面積は二等分される。（おわり）

そういうわけで、

定規で５本線を引くだけで解ける問題でした。

定理の主張は「そりゃそうだろう」と納得いきますが、

問題のようにくりぬかれている場合は若干モヤモヤが残るかもしれません。

理解の仕方の一つは、上の解答に書いたように

灰色の面積を

大きい長方形の面積の半分Ｓ／2と、小さい方の半分ｓ／2で表せば

確かに同じ面積になっている、

という論法です。（が納得いくでしょうか？）

また、問題文では「～直線を一本引け。」となっていますが、

実際は、上の解答をみればわかるように、二等分線は一本しかありません。

2点を通る直線は一本しかないからですよネ。

定理が“平行四辺形”でなりたっていることから、

問題が“長方形”でなく、一般の“平行四辺形”の場合も

同じ解法が通用します。

しかし、三角形のときは使えません。

定理は、三角形に対しては成り立たないからです。

「中心（二つの対角線の交点）」のかわりに「重心」としてみても、

重心を通る直線は、必ずしも二等分線になるとは限らないので、

うまくいきません。

では、円ならどうでしょう？

問題

図のように、大小二つの円で、

小さいほうが、大きいほうの内側にあるものを考える。

このとき、二つの円で囲まれる部分（図の灰色部分）の

面積を二等分するような直線を一本引け。

を解く方法は存在するでしょうか？

連続関数の判定 加減乗除

～与えられた関数の定義域を求め、

　どんな範囲で連続かを判定する話～

≪定義域に関する原則≫

１．多項式型の関数は、（－∞，∞）で定義される。

　　例．一次関数 、二次関数

２．有理関数（分数型の関数）は、分母≠0なるところで定義される。

　　例． の定義域は

　　　　（－∞，－2），（－2，－1），（－1，∞）。

３．指数関数は、、（－∞，∞）で定義される。

　　例．

４．対数関数は、（0，∞）で定義される。

　　例．

５．正弦関数、余弦関数は、（－∞，∞）で定義される。

６．正接関数は、ｘ≠π／2＋ｎπ　（ｎは整数）

　　例．

７．ルート型の関数は、「ルートの中身≧0」のところで定義される。

　　例． の定義域は［0，∞）。

　　　　 の定義域は［2nπ，(2n+1)π］（nは整数）

　　区間については、「基礎概念」のところに

　　　　また記事を書きたいと思います。

　　ｙ＝ax^2+bx+cを多項式は多項式ではありません。

　　　ax^2+bx+cは多項式です。

　　　「ｙ＝」がつくと“関数”になり、多項式ではありません。

　　　ここでは、“多項式型の関数”という呼び方をしています。

　　　正式な名前はなんだったかな？

以上で、高校で出てくる基本的な関数は網羅したと思います。

他の関数は、これらの関数の組合せです。

次に、連続性についてですが、

上に挙げた関数は、定義域において連続です。

従って、１～７まですべて連続関数です。

　分数型とか、tanとか、不連続じゃないのか？

　と思うかもしれませんが、

　不連続点は「定義域に含まれる点」の中で考えるのが前提なので、

　分数型もtanも定義域において連続であるため連続関数です。

　（教科書や参考書で不連続（点）の定義を見直しましょう）

最後に、どう組み合わせるかです。

＜連続性と組合せの関係＞

１．定義域が同じ、2つの連続関数ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）について

　①和　ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）　は連続関数

　②積　ｙ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）　は連続関数

　④商　ｙ＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）　は

　　　ｇ（ｘ）≠0なるところでしか定義されず、定義されるところでは連続。

　③実数倍　ｙ＝α・ｆ（ｘ）　（αは実数）　は連続関数

　④合成　ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））　は連続関数

注．　「差」を書きませんでしたが、差ももちろん連続関数です。

　　　差が連続関数であることは、①と③からすぐに出てきます。

　　　つまり、実数（－1）を掛けた、ｙ＝－ｇ（ｘ）が③より連続関数だから、

　　　①より、ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）も連続関数です。

注．　「商」は定義域が変わる可能性があります。

　　　ｙ＝ｆ（ｘ）の逆数をとってできる関数ｙ＝１／ｆ（ｘ）は

　　　分母ｆ（ｘ）＝0となるｘでは定義されません。

　　　すべてのｘでｆ（ｘ）≠0なら、定義域は変わりません。

２．2つの連続関数ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）をつなぎ合わせる

①ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b ,c］のとき

　 　

　で定義される関数は、少なくとも［a,b）（b,c］では連続です。

　ｘ＝ｂでは、左極限と右極限を計算して、ｆ（ｂ）と等しければ連続です。

②ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b+1,c］のように

　　定義域に隙間ができるとき、

　で定義される関数は、［a,b］（b+1,c］で連続です。

　ｘ＝ｂでは、左極限がｆ（ｂ）と等しければ連続です。（今の場合

　ｙ＝ｆ（ｘ）は連続関数なので、計算するまでもなく等しいはず。）

注．ｘ＝ｂにおける右極限は“存在しない（つまり発散する）”のではなく、

　　“定義されない”というのが正しい。発散するんだったら連続ではない。

③ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b-1,c］のように

　　定義域が被っているとき、
　

　は、被っている区間（b-1,b］でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）でない限り、関数ではない。

　（関数は、ひとつｘに対しては、ｙがひとつに決まらないといけないから。）

　もし、区間（b-1,b］でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）だった場合は、

　ｘ＝b-1と、ｘ＝bで連続かどうかを調べれば、残りの点では連続。

　aはb-1より小さく、cはbより大きいとした。

フランス詩の散歩道（安藤元雄）

フランス詩の散歩道

安藤元雄　著

白水社　1986年

14人のフランス詩人から、

だいたい一作ずつ詩を選び、それを題材に

フランス詩の、技術的なこととか、

どこに感動があるかとかが書いてあります。

詩はなんかよくわからないので、嫌いで、

ずっと倦厭していたのですが、読んでよかったです。

嫌いなものは、機会があったら挑戦すべきですネ。

詩がわかるようになったとわけではないですが、

近づけたのは確かです。

さらに、テレビの『100で名著』で「万葉集」をやって

いたのも手伝って、詩を見直しました。

この本を読んでから数学の証明を読むと、

ちょっと見方が変わりました。

詩が好きな人が詩を読んで感じるものを、

証明を読んで感じたいと思います。

だれかが「詩がわかる」と言ったら、

「自分は数学がわかる」と言って対抗したいですね。