～与えられた関数の定義域を求め、
どんな範囲で連続かを判定する話～
≪定義域に関する原則≫
１．多項式型
の関数は、（－∞，∞）
で定義される。
例．一次関数
２．有理関数（分数型の関数）は、分母≠0なるところで定義される。
例．
（－∞，－2），（－2，－1），（－1，∞）。
３．指数関数は、、（－∞，∞）で定義される。
例．
４．対数関数は、（0，∞）で定義される。
例．
５．正弦関数、余弦関数は、（－∞，∞）で定義される。
６．正接関数は、ｘ≠π／2＋ｎπ （ｎは整数）
例．
７．ルート型の関数は、「ルートの中身≧0」のところで定義される。
例．
区間については、「基礎概念」のところに
また記事を書きたいと思います。
ｙ＝ax^2+bx+cを多項式は多項式ではありません。
ax^2+bx+cは多項式です。
「ｙ＝」がつくと“関数”になり、多項式ではありません。
ここでは、“多項式型の関数”という呼び方をしています。
正式な名前はなんだったかな？
以上で、高校で出てくる基本的な関数は網羅したと思います。
他の関数は、これらの関数の組合せです。
次に、連続性についてですが、
上に挙げた関数は、定義域において連続です。
従って、１～７まですべて連続関数です。
分数型とか、tanとか、不連続じゃないのか？
と思うかもしれませんが、
不連続点は「定義域に含まれる点」の中で考えるのが前提なので、
分数型もtanも定義域において連続であるため連続関数です。
（教科書や参考書で不連続（点）の定義を見直しましょう）
最後に、どう組み合わせるかです。
＜連続性と組合せの関係＞
１．定義域が同じ、2つの連続関数ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）について
①和 ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ） は連続関数
②積 ｙ＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ） は連続関数
④商 ｙ＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ） は
ｇ（ｘ）≠0なるところでしか定義されず、定義されるところでは連続。
③実数倍 ｙ＝α・ｆ（ｘ） （αは実数） は連続関数
④合成 ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ）） は連続関数
注． 「差」を書きませんでしたが、差ももちろん連続関数です。
差が連続関数であることは、①と③からすぐに出てきます。
つまり、実数（－1）を掛けた、ｙ＝－ｇ（ｘ）が③より連続関数だから、
①より、ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）も連続関数です。
注． 「商」は定義域が変わる可能性があります。
ｙ＝ｆ（ｘ）の逆数をとってできる関数ｙ＝１／ｆ（ｘ）は
分母ｆ（ｘ）＝0となるｘでは定義されません。
すべてのｘでｆ（ｘ）≠0なら、定義域は変わりません。
２．2つの連続関数ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）をつなぎ合わせる
①ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b ,c］のとき
で定義される関数は、少なくとも［a,b）（b,c］では連続です。
ｘ＝ｂでは、左極限と右極限を計算して、ｆ（ｂ）と等しければ連続です。
②ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b+1,c］のように
定義域に隙間ができるとき、
で定義される関数は、［a,b］（b+1,c］で連続です。
ｘ＝ｂでは、左極限がｆ（ｂ）と等しければ連続です。（今の場合
ｙ＝ｆ（ｘ）は連続関数なので、計算するまでもなく等しいはず。）
注．ｘ＝ｂにおける右極限は“存在しない（つまり発散する）”のではなく、
“定義されない”というのが正しい。発散するんだったら連続ではない。
③ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域が［a,b］、ｙ＝ｇ（ｘ）の定義域が（b-1,c］のように
定義域が被っているとき、
は、被っている区間（b-1,b］
でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）でない限り、関数ではない。
（関数は、ひとつｘに対しては、ｙがひとつに決まらないといけないから。）
もし、区間（b-1,b］でｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）だった場合は、
ｘ＝b-1と、ｘ＝bで連続かどうかを調べれば、残りの点では連続。
aはb-1より小さく、cはbより大きいとした。