定積分で表された関数を微分するとき絶対値が付いててもいいのか？

教科書に

という公式が載っている。

これはどんな関数f(x)に対しても正しいか。

この前の京都府立医大の問１を解いていて疑問に思った。

この問題ではf(x)が、絶対値の付いた式で表されている。

京都府立医大の問題よりも、もっとあからさまな例を考えることができる。

定積分で表された関数

自体が微分可能でない場合はないだろうか。

そんな例は簡単に作れる。

とすれば、この関数は積分できるので

は定義されるが、x=0において微分可能ではない！

f(x)が連続なら（絶対値の付いた式で表されていたとしても）、F(x)は微分可能になる。

しかし、上の例のようにf(x)に連続てない点があると、

F(x)がその点で微分可能ではない例を作れる。

不連続な点があっても、それが有限個なら積分できる。

　　直感的には、面積が計算できるなら積分できる。

　　しかし、高校数学では、原始関数を使って定積分を定義するので、

　　高校の範囲では、連続でない関数を積分するのはルール違反かもしれない。

厳密には微分係数の定義に戻って計算してみれば微分可能でないわかる。

　　直感的には、グラフが滑らかでない（尖っている）から微分可能ではない。

証明は、大学１年生で勉強する「ε-δ論法」を使う。

　　多少表現は違うかもしれないが、大学の微分積分学の本には必ず載っている。（微分積分学の基本定理）

　　たとえば、『解析概論 改訂第三版』（高木貞治）だと「32.積分関数　原始関数」の定理35である。

（おわり）

交響曲『オルガン』

サン・サーンスの交響曲第３番は『オルガン』と呼ばれる。

交響曲の中には、名前が付いているのがある。

小さい頃は純粋に、『運命』や『ジュピター』は、作曲者がそれを表現しようとしたのだと信じていたので、

楽器の名前が付いてるとはどうしたことか？と思った。

サン・サーンスは、交響曲で「オルガンという楽器」を表現しようとした・・・

さすが、サン・サーンスは、目の付け所が違う！

当時聴いていたCDは、サン・サーンスのオムニバスで、

『オルガン』は、最後の方（第４楽章？）だけしか入っておらず、

いきなりオルガンの和音で始まる。

オーケストラが舞台を準備する。最終楽章にふさわしく対位法で。

そこにオルガンが乗る。

ピアノにタッチして、ちょっと水の中に潜る。（水族館？）

さりげないオルガンも素晴らしい。

そしてオルガンがメロディを弾く。

オーケストラの他の楽器たちとは明らかに異なる、塗りつぶしベタ塗り。

メロディというか、コード進行みたいだけど、熱い！

オーケストラは、偉大なるオルガンを引き立てる。ちょっとオーバーなのがいい。

また対位法。ティンパニも参加。

ここにも、さりげないオルガン。

オーボエソロからは、オーケストラが主役。オルガンは脇役に徹する。

いろいろあって、

最後加速します。

結局、オルガンは、あまり難しいことをやっていないような・・・

もっと派手なパッセージとか弾いてほしいのう。

協奏曲じゃなくて交響曲だから？オルガンにはそういうの向かないから？

しかしまあ、サン・サーンスの音楽は趣味がいい。

（おわり）

極方程式で表された曲線の長さ

極方程式で表された曲線の、θがαからβまでの部分の長さは

である。

曲線の長さの公式（直交座標版）を使って式変形で示す。

極方程式から、

のようにθを用いて媒介変数表示されるので

（おわり）