双曲線 接点から接線 その１

双曲線上の点における接線の方程式を求めます。

まず忘れてはならないのは、点は双曲線H上にあることです。

・・・①

これがないと、点Pは、座標平面上のどこにあってもいいことになってしまいます。

次に接線の方程式の原型をこしらえます。接線は点Pを通る直線なので、

とおけます。

このままでもよいですが、よく考えると、双曲線Hは（平たく言うと）左右に開いた形をしているので、ｘ軸に平行な直線は接線になりえません。よって、A≠0です。それなら最初から両辺をAで割って、xの係数を1にしておくと簡単です。接線の方程式を

・・・②

とおきます。

②はこのままでは、点を通る直線というだけで、接線とは限りません。が適切な値でなければ接線にはなりません。

双曲線Hと直線②の共有点をとします。はかもしれないし、もし双曲線Hと直線②に２個目の共有点があればその点かもしれません。このとき、

が成り立ちます。Xを消去すると、

・・・③

ここで、双曲線Hと直線②との位置関係をいくつか見てみましょう。

図１：左葉と２点で交わる。

図２：左葉と接する。

図３：左葉と２点で交わる。

図４：左葉と１点で交わる。

図５：左葉と１点で交わり、右葉と１点で交わる。

このように、直線②を少しずつ動かすとき、接する前後では、点すのすぐ近くにもう１個の共有点があります。よって、③をYについての方程式と見れば、接することは、２次方程式が「重解」をもつことに対応しています。

【注意】③で、Y=tとすると、①と同じ式になってしまう。Y=tとしても、③の２個の解のうち少なくとも一方がY=tだとしか言えていないからです。そして、Y=tを解にもつことは①②から、もう決まっています。

２個の解の両方がY=tだというために「判別式=0」を使います。

（つづく）

「すべて・・・ある・・・」と「ある・・・すべて・・・」

国公立大学入試お疲れさまでした！

今日も試験が続いている人もいますね。

今回は、「すべて」と「ある」が混ざった命題についてです。

「すべて」と「ある」を入れ替えると意味が変わります。

次の２つの命題を比べてみましょう。

命題①

「すべての野球選手に対して、実力を１００％引き出すバットが存在する。」

命題②

「あるバットは、すべての野球選手の実力を１００％引き出す。」

これら２つは、まったく意味が異なります。

命題①は、個々の選手に応じて、最適なバットがそれぞれあるというイメージです。

一方、命題②は、どんな選手も納得の超高品質のバットがあるというイメージです。

これは、記号∀（すべて）、∃（ある、存在する）を使って次のようにも書けます。

ただし、Ａは野球選手の集合、Ｂをバットの集合とします。

命題①

「∀ｘ∈Ａ　∃ｙ∈Ｂ　s.t.　ｙはｘの実力を１００％引き出す」

命題②

「∃ｙ∈Ｂ　s.t.　∀ｘ∈Ａ　ｙはｘの実力を１００％引き出す」

※「s.t.」は英語の「such that」の略です。

このように記号を用いて書くと、命題①②は、「すべて（∀）」と「ある（∃）」の順番が入れ替わった形になります。

高校の教科書では、「すべて」と「ある」の両方を含む命題は表立っては出てこないと思います。

しかし、大学入試問題では、命題①と②の違いがわからないと、解けないような問題も出題されています。

【補足】

∀は、anyやallやarbitraryの頭文字に由来するのでしょう。

∃は、existです。

s.t.は、so thatでもよいと思いますが、たいていsuch thatだと書かれています。

（おわり）

数列の{ }

数列を表すのに、｛an｝のように「｛　｝」を使います。

「｛　｝」なしで単に an と書いたら、数列の一般項（第n項）を表します。

つまり、

｛an｝は、「a1，a2，a3，a4，a5，・・・」という数の並び全体を表し、

anは、その並びの中の１個の数を表すのです。

「｛　｝」は集合でも使う記号です。

｛an｝ は、｛an｜nは自然数｝ の省略形なのかもしれません。

（おわり）