完全数 覚え書

新聞に数学の記事が載っていると言われて
見てみたら完全数の話でした。

次の命題がメインとなっていましたが、
証明は書いてなかったので一応確かめます。


【命題】


が素数のとき



は完全数になる。

　
　完全数とは、自分自身を除く約数の総和が自分自身になる数のこと。
　たとえば６は完全数。
　実際、６の約数は１、２、３、６であるが、このうち自分自身を除いた総和は
　１＋２＋３＝６
　となり、自分自身である。
　


［確かめ］
（２^n－１）２^(n-1)の自分自身以外の約数の総和は、



となり、確かに完全数です。（よかった！





最初、暗算でもできるやろうと思ってやってみたら
（２^n－１）２^(n-1)が出て来なかったので、
書いてやってみました。
うまくいかなかったのは「自分自身を除く」のを忘れていたからでした。



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ところで、
このあいだシュタインハウスの『数学スナップショット』について書きましたが、
そこのわりと最初の方に、正三角形を描く方法として、

　任意の三角形において、各内角の三等分線を引く。
　このとき、隣り合う三等分線の交点（三等分線は６本あるから交点は３個）を
　頂点とする三角形は正三角形である。

ことが図付きで紹介されています。（↑この文は筆者のもので、
シュタインハウスの説明は図があるので、もっと簡潔で、
その後に、実際に近似的に三等分線を引く方法が書いてあります。）


証明がないので、自分で証明しようとしたのですが、なかなかできませんでした。

そしたら、最近、
『数学セミナー８月号』にこの定理が載っているを発見しました。
「モーリーの定理」というそうです。
これから読んでみる予定です。
ぱっと見「カージオイド」とか「論文」とか書いてあって
大変そうでしたが、簡単には証明できないのでしょうか？？

重力一定の説明

以下のような重力の問題について
二人の人が話し合っています。


問題。
斜面で球が転がり落ちる様子を観察しました。
下の図は転がし始め、転がし始めてから１秒後、転がし始めてから２秒後の
位置をそれぞれ表しています。



それぞれの位置において、球に働く重力の大きさはどのようになるか
次の選択肢から選びなさい。

１．だんだん大きくなる
２．だんだん小さくなる
３．変化しない





説明。
重力とは重さのことです。
体重計ではかるやつです。

重力は高さ（標高）によって変わりません。
実際、ビルの　何階で体重をはかっても同じでしょう。


万有引力の式Ｆ＝ＧＭｍ／ｒｒを見れば、本当は変わるけど、
普通の斜面では変わらないと思ってよい。




反論。
静止している状態なら、重さ（重力）が変化しないのはわかる。
でも、問題では球が加速している状態での重力を効いている。
速さが変われば、重力も変わるのではないか。
実際、静かに体重計に乗った時と
飛び乗った時では針の振れ方が違う。


応答。
重力は“重さ”である。
重さは、その人や物体がどんな運動をしていようが変わらない。
体重計に飛び乗ると、針が一瞬大きく振れるのは、
勢いがあるからであって、重さが大きくなったからではない。

勢いは高校物理で出てくる“運動量”のことであるが、
詳しく知らなくても、ようするに、
勢いよくぶつかられたら、ふっ飛ばされるが、
これは、ぶつかってきたやつの速さを自分がもらったと考えられる。

飛び乗られた体重計の針は、飛び乗ったやつの速さをもらって、
自分も速さを持ち、動いた。

体重計に飛び乗ったときの針の動きは、
・重力による針の位置の変化（静かに押される）
・飛び乗ったやつの速さをもらって動く（勢いの伝達）
の二つが組み合わさって出来ている。

勢いの伝達は一瞬のことなので、そのうち
針についているバネの力で押し戻され、
体重計のバネの力と乗った人の体重がつりあったところで
正しい体重を指す。



反論。
結局体重計では静止した時の重力しか測れないことになる。
それでは、速さがあるときの重力をはかれていないので、
速さがあるときも本当に、重力が変化しないのかわからない。

また、勢いと力（重力など）は区別できるものだろうか。
勢いも力も同じものなのでは？



応答。
力というものは、そもそも
Ｆ＝ｍａという関係からわかるように、加速度によって生まれる。
飛び乗るとき人が受けている力は、重力だけなので、
その人の加速度は重力加速度に等しい。

重力加速度はどこでも一定だから
この人が受ける力もどこでも一定である。



反論。
中学理科の問題なので、運動方程式とか加速度とかで
説明していいのか。
それと、その説明は循環論法になっていないか。






力と運動量の関係についてはもう少し考えないといけません。



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((追記))

その後、考えてみましたが・・・


まず、問題を整理しておくと

１．物体の速さによって、その物体にかかる重力は変化するのではないか？
　　根拠として、体重計に飛び乗った瞬間と、静止してからとで
　　体重計の針の振れ幅が違う、ことが挙げられる。

２．力と運動量を使ってこのことを説明できるか。
　　もし説明できるなら、中学生にもわかるように説明できるか。


１．についてまず、体重計に飛び乗る状況を、モデルで表してみます。
　　そのために高校物理で考えます。



上の図１は飛び乗った時のモデルです。
体重計をバネだと思って、針をばねの縮みで表します。
左は、飛び上がって最高点に達した瞬間、
右は、針がめいっぱいまで触れた瞬間です。

図２は静かに乗って力がつりあった状態です。


赤玉（人間）の質量をｍ、バネ定数をｋ、重力加速度をｇとします。

このモデルをみると、
普通は、運動量保存則ではなく、力学的エネルギー保存則を使いますね。
運動量は中学ではでてきませんが、力学的エネルギー保存則は中学校でも
出てくるので、エネルギーを使うことにしましょう。

しかし、
重力が一定でないとすると、重力加速度ｇは一定でないことになります。

等加速度でない運動です。

厄介ですね。

内積の２乗

内積の２乗はできる。



内積は実数だから、単に実数の２乗である。


しかし、



は成り立たない。
そもそも“ベクトルの２乗”は、ない。
ベクトルの“大きさ”の２乗ならあるが、



と修正したとしても、これも成り立たない。
成り立つのは、



という不等式である。
これは、



の両辺を２乗すれば出てくる。

等号成立は、cosθ＝１のとき、つまりθ＝０のときである。
θはaとbがなす角だから、aとbの向きが同じときだけ等号（＝）になる。

ベクトルaとbの向きが同じということは、aとbは正の実数と変わらない。
実数なら、等号になるのは当たり前である。（内積は掛け算、大きさは絶対値と見ている）