ソートイの白熱教室を見た

テレビで、Marcus P. F. du Sautoyさんの白熱教室を見ました。

ソートイさんは一般向けの数学の本をいろいろ書いていて、筆者は高校のときに『素数の音楽』を読みました。リーマン予想をめぐる話が書かれていて、この本で知った数学者もたくさんいます。数式もでてきますが、挿絵だと思って眺めておけば十分です。ζ関数の特異点？の図が書いてあったのと、ラマヌジャンのとんでもない公式が書いてあったのを覚えています。今は文庫本になっているはずです。

白熱教室は、対称性（symmetry）がテーマで、プラトン立体、ガロア理論、モンスター群などが話題にあがっていました。プラトン立体は正多面体のことで、新課程になって数Ａでも習うようですが、なんとまあ５種類しかありません。プラトンはこの事実に基づき、五大元素（火、土、？、水、宇宙。ひとつ忘れた。。）をこれらの多面体（正四面体、立方体、正八面体、正二十面体、正十二面体）に対応させました。正四面体は一番とがってるから火、立方体は一番安定しているから大地の土、などの説明が興味深かったです。正八面体の対応だけ理由が説明されなかったので「なんでや？」と不満だったのですが、そのせいか八面体に対応する元素を忘れてしまいました。

ガロア理論は、アルハンブラ宮殿の壁の模様を使って非常にうまい説明がされました。ガロア理論を理解していないので、どの程度説明できているのかはわかりませんが、「おおっ！」と感動する話でした。ソートイさんに教えてもらったことをもとにガロア理論を勉強すれば理解しやすいかもしれません。また時間を見つけて勉強したいと思います。

モンスターは、有限群で位数（構成員の人数）がものすごく大きいものですが、なにかの本で数学者でさえ「こんなものを研究するのは物好きだ」的なことを述べているのを見たことがありますが、ソートイさんは、モンスターはとんでもなく高次元（でも無限次元ではない）の対称性を持つ図形で、雪の結晶の複雑に例えられると言っていました。そういわれると、モンスターを研究するのは雪の結晶を研究するようなもので、それなら、研究する気持ちもわからんでもないと思えてきます。また、モンスターの次元（互いに相いれない構成員の人数。）は196,883で、これは数学の他の分野でも登場する数字らしい。どうなっているのでしょう？？

ところで、講義の最後に、３×３×３のルーピックキューブのシンメトリー（もとに戻る動かし方）は何通りあるでしょうという問題が出されました。「色はないことにしよう」と言っていたので、おそらく、各ブロック（９個×６面＝５４個）を区別し、ルービックキューブがカチッとなる動かし方で、ブロックの配置が動かす前と後で異なるものは何通りあるか、という問題だと思います。
大きな数字になるので、桁数を答えることになっており、答えは25桁でした。正確に計算するのは大変そうなので、大雑把に考えてみます。ルービックキューブの、面が回転するという構造を無視して、５４個あるブロックがそれぞれ好き勝手に他のブロックに置き換わるとすると、５４の５４乗通りの動かし方があります。桁数を答える問題ですから、その対数をとると、


より、

となります。大きすぎです。
さすがに大雑把過ぎたようです。

面が回るということに着目すると、一つの面につき回り方は４通り（０°45°90°135°）で、ｘ軸周りに回転する面は３個あるので、ｘ軸周りの回転の仕方は４×４×４通り。ｙ、ｚ軸周りでも同様。ずべての回し方は、大雑把に、（４×４×４）の３乗と見積もると、４の９乗です。

あれっ？これでも足りない。多すぎるくらいかと思ったのですが。。

あ、そうか。回す順序によって動かした後の配置は違うのか・・・
ルービックキューブの面を回すという操作は、交換法則を満たさないのだな。なるほど。

「２５桁」という数字を見積もるのは難しそうです（いいやり方があるのかもしれないが。）。読んでくださってる方に伝わるように書く自信もなくなってきたので、今回はこの辺で。。

四角形ＡＢＣＤは何通りあるか

四角形ＡＢＣＤは、次の「あ」「い」「う」のどれでしょう。




正解は、「あ」と「い」です。


四角形ＡＢＣＤと書いたら、頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは
この順に並んでいなければなりません。

時計回りに並んでも、反時計回りに並んでもo.k.です。



では、

４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする四角形と言われたらどうでしょう。


これは、「あ」「い」「う」すべてo.k.です。

頂点がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４点からなると言っているだけなので、
順番は問いません。



平面幾何では、最初から図か書いてあることが多いので、
意外に意識しないかもしれませんが、
図形と方程式や、複素平面の問題では、
このことを知らないと正しい答えが出ないことがあります。

繰り返される名前

Galileo Galilei

Carl Gustav Jacob Jacobi

Karl Ditters Baron von Dittersdorf


ガリレオ　ガリレイ

カール　グスタフ　ヤコブ　ヤコビ

カール　ディッタース　フォン　ディッタースドルフ


皆さん風習など事情があるのでしょうが、

おもしろい名前です。


ガリレオは物理学者。

振子は、時間とともに振れ幅は変わるが、一振れにかかる時間は変わらないことを発見した。


ヤコビは数学者。

ヤコビの楕円関数とか、ヤコビ行列とか。プロイトヘルツヤコブ病は別の人。


ディッタースドルフは音楽家。

なんとまあ珍しい、コントラバス協奏曲を作った。



追伸：

数年前、『ヤコビ楕円関数原論』（高瀬正仁訳）なるごっつい本が出ました。

今のところ筆者は読んでいませんし、近いうちに読む予定もありません。

なぜなら、他の『楕円関数論』が積読されているからです。


追伸２：

ヤコブ・ヤコビはとても怖い顔をしています。

上記の本を検索する場合は気をつけて下さい。表紙に彼の顔があります。

一応ブルーフィルターがかかっていますが。

初めて彼の顔を見たとき（高校生でしたが）、衝撃を受けました。

こんなの載せといていいのか、と思いました。

今では、賢そうな、カッコイイ顔だと思います。


追伸３：

焼酎とコーラを混ぜたらチョコレートの味になりました。