「その２はどうした」と言われるかもしれないが，
その２は書いている途中で仕上げるのが結構大変だと
わかったので，放棄した．
その２では，α＞０⇒αβ＞０となるためには
虚数αが正であるということをどう定義すればよいかを
議論している．
---
さて，この記事「その３」では
その１で予告したように「複素平面を使って図形的に」
考えてみよう．
虚数に大小があったとして試行実験してみる．
たとえば４つの複素数
の間に大小関係があるから
大小を矢印で表して
や
といった大小関係が考えられる．
ほかにも矢印の入れ方はあり得るかもしれないが，
ループしてはダメである．
大小関係だからジャンケンみたいに循環するのはおかしい．
上の２つの例はループしていないから，
とりあえずこの２つを題材に議論していこう．
以外の複素数に大小関係を拡張する．
は，
「実部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
実部が同じなら，虚部の大小を複素数の大小とする．」
というやり方で大小関係を定めたものと考えられる．
この大小関係ならば，どの複素数たちを結んでもループはしない．
気になる方のために証明を書いておこう．
ループするとは，
「α＜βかつβ＜γ」であるにもかかわらずα≧γとなる
α，β，γが存在する、ということである．
どんなα，β，γに対してもそんなことは起きないことを示せばよい．
とすると，α＜β，β＜γより
だから
よって，
（１）
の場合：α＜γ
（２）
の場合：
だから
α＜β，β＜γより
となりα＜γ
以上より，どんなα，β，γでもα＜γとなる（証明おわり）
一方，
は，逆に
「虚部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
虚部が同じなら，実部の大小を複素数の大小とする．」
というやり方で大小関係を定めたものと考えられる．
これも同様に考えてループしないことがわかる．
よって，
複素数に大小関係を導入できることがわかった．
ただし，上で見たように導入できる大小関係は一つではないから，
もし複素数の大小関係を使う場合は，
どの大小関係で考えているかは断っておく必要がある．
ここからは，最初の方
「実部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
実部が同じなら，虚部の大小を複素数の大小とする．」
によって決まる大小関係について考える．
まず虚数の正負について見ておこう．
「虚数αが正であるとは，αが０より大きいことである」
であるから，α＝ａ＋ｂiとすると
・ａ＞０ならばα＞０
・ａ＝０ならば，ｂ＞０ならα＞０
・ａ＝０かつｂ＜０ならば，α＜０
・ａ＜０ならばα＜０
であることがわかる．
複素平面で，正の複素数を図示すると（横軸を実軸，縦軸を虚軸として）
の斜線部分および境界「ｘ＝０，ｙ＞０」が正の複素数である．
また，原点では（当たり前だが）０であり，
その他の部分は負の複素数ということになる．
不等式について考える．
α＞β
とは
α－β＞０
が成り立つことである，としよう．
実は，さっき「ループしないことの証明」で
α＞βは登場してしまっていた．定義があとになりすみません．
α＞βのとき，任意の複素数γで
α＋γ＞β＋γ
が成り立つ．
しかし
αγ＞βγ
は必ずしも成り立たない．
これは
（α－β）γ＞０
のことであるが，
たとえばα－β＝cos30°＋isin30°，γ＝iとすると，
γを掛けることは９０°回転に相当するから
となり正の領域からはみ出してしまう．
したがって
正の複素数を掛けたからといって必ずしも正になるとは限らない．
もちろん必ず負になるとも限らない．
この回転という観点から実数の不等式を見直すと，
「掛ける数γも実数だったので
０°回転または１８０°回転にしか起こらず，
符号は，変化しないか丁度反転するかだった」
と解釈できる．
γが虚数だと何°の回転でも出来るから
「正だったら不等号の向きが変わらず，負だったら変わる」
というような単純なことにはならない．
もし，こうしたシンプルさを求めるならば，
複素数の正負を普通の領域で分けていたのでは無理で，
たとえば，
偏角が有理数のとき正，
偏角が無理数のとき負
のような変わった分け方をしなければならない．（と思う）
この場合，
正×正＝正
正×負＝負
負×正＝負
負×負＝いろいろ
となる．この分け方でも，負×負は満足いく結果を得られない．
というか，今度は足し算がうまくいかないと思う．
以上まとめると，
複素数に大小関係（順序関係）を導入することはできる．
しかし，
この記事で考えたような大小関係では
不等式の計算，変形がうまくいかない．
不等式がうまくいかないことが
複素数で大小関係を考えない理由なのかもしれない．
この記事では，
複素数に（導入するに値する）大小関係を入れることはできなかった．
大小関係を入れられないということも示せなかった．
今後に期待する．（おわり）
その２は書いている途中で仕上げるのが結構大変だと
わかったので，放棄した．
その２では，α＞０⇒αβ＞０となるためには
虚数αが正であるということをどう定義すればよいかを
議論している．
---
さて，この記事「その３」では
その１で予告したように「複素平面を使って図形的に」
考えてみよう．
虚数に大小があったとして試行実験してみる．
たとえば４つの複素数
の間に大小関係があるから
大小を矢印で表して
や
といった大小関係が考えられる．
ほかにも矢印の入れ方はあり得るかもしれないが，
ループしてはダメである．
大小関係だからジャンケンみたいに循環するのはおかしい．
上の２つの例はループしていないから，
とりあえずこの２つを題材に議論していこう．
以外の複素数に大小関係を拡張する．
は，
「実部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
実部が同じなら，虚部の大小を複素数の大小とする．」
というやり方で大小関係を定めたものと考えられる．
この大小関係ならば，どの複素数たちを結んでもループはしない．
気になる方のために証明を書いておこう．
ループするとは，
「α＜βかつβ＜γ」であるにもかかわらずα≧γとなる
α，β，γが存在する、ということである．
どんなα，β，γに対してもそんなことは起きないことを示せばよい．
とすると，α＜β，β＜γより
だから
よって，
（１）
の場合：α＜γ（２）
の場合：だからα＜β，β＜γより
となりα＜γ
以上より，どんなα，β，γでもα＜γとなる（証明おわり）
一方，
は，逆に
「虚部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
虚部が同じなら，実部の大小を複素数の大小とする．」
というやり方で大小関係を定めたものと考えられる．
これも同様に考えてループしないことがわかる．
よって，
複素数に大小関係を導入できることがわかった．
ただし，上で見たように導入できる大小関係は一つではないから，
もし複素数の大小関係を使う場合は，
どの大小関係で考えているかは断っておく必要がある．
ここからは，最初の方
「実部を見て大小があればその大小を複素数の大小とする．
実部が同じなら，虚部の大小を複素数の大小とする．」
によって決まる大小関係について考える．
まず虚数の正負について見ておこう．
「虚数αが正であるとは，αが０より大きいことである」
であるから，α＝ａ＋ｂiとすると
・ａ＞０ならばα＞０
・ａ＝０ならば，ｂ＞０ならα＞０
・ａ＝０かつｂ＜０ならば，α＜０
・ａ＜０ならばα＜０
であることがわかる．
複素平面で，正の複素数を図示すると（横軸を実軸，縦軸を虚軸として）
の斜線部分および境界「ｘ＝０，ｙ＞０」が正の複素数である．
また，原点では（当たり前だが）０であり，
その他の部分は負の複素数ということになる．
不等式について考える．
α＞β
とは
α－β＞０
が成り立つことである，としよう．
実は，さっき「ループしないことの証明」で
α＞βは登場してしまっていた．定義があとになりすみません．
α＞βのとき，任意の複素数γで
α＋γ＞β＋γ
が成り立つ．
しかし
αγ＞βγ
は必ずしも成り立たない．
これは
（α－β）γ＞０
のことであるが，
たとえばα－β＝cos30°＋isin30°，γ＝iとすると，
γを掛けることは９０°回転に相当するから
となり正の領域からはみ出してしまう．
したがって
正の複素数を掛けたからといって必ずしも正になるとは限らない．
もちろん必ず負になるとも限らない．
この回転という観点から実数の不等式を見直すと，
「掛ける数γも実数だったので
０°回転または１８０°回転にしか起こらず，
符号は，変化しないか丁度反転するかだった」
と解釈できる．
γが虚数だと何°の回転でも出来るから
「正だったら不等号の向きが変わらず，負だったら変わる」
というような単純なことにはならない．
もし，こうしたシンプルさを求めるならば，
複素数の正負を普通の領域で分けていたのでは無理で，
たとえば，
偏角が有理数のとき正，
偏角が無理数のとき負
のような変わった分け方をしなければならない．（と思う）
この場合，
正×正＝正
正×負＝負
負×正＝負
負×負＝いろいろ
となる．この分け方でも，負×負は満足いく結果を得られない．
というか，今度は足し算がうまくいかないと思う．
以上まとめると，
複素数に大小関係（順序関係）を導入することはできる．
しかし，
この記事で考えたような大小関係では
不等式の計算，変形がうまくいかない．
不等式がうまくいかないことが
複素数で大小関係を考えない理由なのかもしれない．
この記事では，
複素数に（導入するに値する）大小関係を入れることはできなかった．
大小関係を入れられないということも示せなかった．
今後に期待する．（おわり）
