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中線定理の拡張？

あまりきれいではないですが，中線定理の拡張を考えたので，書いてきます．

まずは，普通の中線定理です．

定理１．（中線定理）

△ABCにおいて，辺BCの中点をMとするとき，

　 ${\color{blue}{\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}}$ 　

が成り立つ．

${\rm AB^2+AC^2=2AM^2+BM^2+CM^2}$

とすれば，式はB,Cに関して対称です．

次に3等分バージョンです．これは問題集に載っていました．これがきっかけで「中線定理」の拡張を考えてみようと思いました．

定理２．

△ABCにおいて，辺BCを3等分する点をD,Eとするとき，

　　 ${\color{blue}{\rm AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+BE^2}}$

が成り立つ．

定理２は，中線定理の拡張に違いないですが，

　（あ）中線定理の右辺にあった"2"はどこにいったのか．

　（い） ${\rm BD^2+DE^2+EC^2=3BD^2}$ となりそうなのに， ${\rm BE^2=(2BD)^2=4BD^2}$

といったギャップがあります．

とりあえず，定理２を証明してみます．中線定理を使って証明すると次のようになります．

証明．△ABEに中線定理を用いると，

　 ${\rm AB^2+AE^2=2AD^2+2BD^2}$ 　・・・①

△ADCに中線定理を用いると，

　 ${\rm AC^2+AD^2=2AE^2+2CE^2}$ 　・・・②

①＋②より

　 ${\rm AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+4BD^2}$ 　□

この証明の仕方のまま拡張すると，

定理３．

△ABCにおいて，辺BCをn+1等分する点をD_1,D_2,...,D_nとするとき，

　 ${\color{Blue} {\rm AB}^2+{\rm AC}^2={\rm AD}_1^2+{\rm AD}_n^2+n{\rm BD_1}^2}$

が成り立つ．

証明．B=D_0,　C=D_{n+1}と書くことにする．D_kD_{k+1}=d　(k=0,1,...n+1)とおく．

△AD_kD_{k+2}に中線定理を用いると，

　 ${\rm AD}^2_{k}+{\rm AD}^2_{k+2}&=2{\rm AD}^2_{k+1}+2d^2$

k=0,1, ... ,n-1の和をとると，

　 $\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}{\rm AD}_k^2+\sum_{k=2}^{n+1}{\rm AD}_{k}^2&=2\sum_{k=1}^{n}{\rm AD}_{k}^2+2\sum_{k=0}^{n-1}d^2\\ {\rm AD}^2_0+{\rm AD}^2_{n+1}&={\rm AD}^2_{1}+{\rm AD}^2_{n}+2nd^2 \end{align*}$

となり，定理は成り立つ．　□

右辺は，辺のｎ等分線？のうち両端のものが残る．

二項定理と行列の累乗

行列の累乗を計算していて，気づいたことを書きます．

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a \end{pmatrix}$

という形の行列の累乗を計算すると，

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a \end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}a^2+b^2&2ab\\2ab&a^2+b^2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a \end{pmatrix}^3= \begin{pmatrix}a^3+3ab^2&3a^2b+b^3\\3a^2b+b^3&a^3+3ab^2 \end{pmatrix}$

となります．

行（あるいは列）の要素の和が，二項展開の式になっています．

(a+b)^nの展開式の項が，2つに分けられています．

ここで，行列の指数を負の数にしてみることにしました．

もしかすると，Pascalの三角形の上空に何があるのかわかるかもしれません．

計算してみると，

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}\frac{a}{a^2-b^2}&\frac{-b}{a^2-b^2}\\ \frac{-b}{a^2-b^2}&\frac{a}{a^2-b^2} \end{pmatrix}$

となります．

二項展開の流れからいくと，1/aや1/bの多項式になるのではないかと予想したのですが，そうはならないようです．部分分数に分解すると，

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a \end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}&\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}\\ \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}&\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b} \end{pmatrix}$

であり，1/(a+b)と1/(a-b)の多項式となります．

Pascalの三角形の上空，すなわち指数が負の数のときの二項係数を調べることはできませんでした．

今の時点ではこれ以上進めないので，これで終わります．

tikzの角度記号コマンド

tikzで使う角度記号のコマンドです。

理由はよくわかりませんが、

　　\usetikzlibrary{angles, quote}

がうまく働かないので、それなしで使えるコマンドを作成しました。

準備

プリアンブルには

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}

\usepackage{ascmac}

\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{intersections,calc}%交点を求める，座標計算

と書きます。（不要なものもありそうですが・・・）

コマンド

コマンドは次の通りです。

%%%角度記号\angmark{A}{O}{B}{角度}

\newcommand{\angmark}[4]{

 \coordinate(Aang)at($(#1)-(#2)$);

 \coordinate(Bang)at($(#3)-(#2)$);

 \draw let \p1=(Aang), \p2=(Bang)

       in ($(#2)!0.5cm!(#1)$) arc

          [start angle={atan2(\x1,\y1)}, end angle={atan2(\x2,\y2)}, radius=0.5cm];

 \draw [opacity=0]

   let \p1=(Aang), \p2=(Bang),

       \n1={atan2(\x1,\y1)}, \n2={atan2(\x2,\y2)}, \n3={0.5*\n1+0.5*\n2}

   in ($(#2)!.8cm!(#1)$)

      arc [start angle={\n1}, end angle={\n3}, radius=.8cm]

      coordinate(Cang);

\draw(Cang)node{#4};}

使用例

\begin{tikzpicture}

\coordinate(O)at(0,0)node[above]at(O){O};

\coordinate(A)at(3,-4)node[right]at(A){A};

\coordinate(B)at(-5,-2)node[left]at(B){B};

\draw(A)--(O)--(B);

\angmark{B}{O}{A}{$\theta$}

\end{tikzpicture}

コマンド（180°をまたぐ場合）

\angmarkは、180°をまたぐ角には使えません。

\atan2(,)が原因だと思われます。

そこで「180°をまたぐ角」用にもう一つコマンドを作りました。

%%%180°を跨ぐ角度記号\contrangmark{A}{O}{B}{角度}

\newcommand{\contrangmark}[4]{

 \coordinate(Aang)at($(#1)-(#2)$);

 \coordinate(Bang)at($(#3)-(#2)$);

 \draw

  let \p1=(Aang), \p2=(Bang),

      \n1={atan2(\x1,\y1)}, \n2={atan2(\x2,\y2)+360}

  in ($(#2)!0.5cm!(#1)$)

     arc [start angle={\n1}, end angle={\n2}, radius=0.5cm];

 \draw[opacity=0]

  let \p1=(Aang), \p2=(Bang),

      \n1={atan2(\x1,\y1)}, \n2={atan2(\x2,\y2)+360},

      \n3={0.5*\n1+0.5*\n2}

  in ($(#2)!.8cm!(#1)$)

     arc [start angle={\n1}, end angle={\n3}, radius=.8cm]

     coordinate(Cang);

 \draw(Cang)node{#4};}

使用例

左図

\begin{tikzpicture}

\coordinate(O)at(0,0);

\fill(O)circle(2pt);

\coordinate(A)at(120:2)node[above left]at(A){$\ang{120}$};

\coordinate(B)at(200:2)node[below left]at(B){$\ang{200}$};

\draw(O)--(A) (O)--(B);

\contrangmark{A}{O}{B}{$y$}

\end{tikzpicture}

右図

\begin{tikzpicture}

\coordinate(O)at(0,0);

\fill(O)circle(2pt);

\coordinate(A)at(120:2)node[above left]at(A){$\ang{120}$};

\coordinate(B)at(200:2)node[below left]at(B){$\ang{200}$};

\draw(O)--(A) (O)--(B);

\angmark{A}{O}{B}{$x$}

\end{tikzpicture}

角度のコマンド

上で使っている$\ang{}$は、「°」をつけるコマンドです。

プリアンブルに

\newcommand{\ang}[1]{#1^\circ}

と書けば使えるようになります。

「120°」は「$\ang{120}$」です。「$120^\circ$」と同じです。