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数式が表示されない

前回の記事の数式がうまく表示されていないようです。

記事を書いてプレビューを見ると問題なく表示されているのですが、検索してそのページに行くと数式のところが空白になっています。

どうしたら直るのでしょう？

いっそ記事を全部TEXで打って、画像として貼り付けようかなあ。

階差数列による等差数列の一般項

等差数列の階差数列は、定数列である。

すなわち

等差数列 $\{a_n\}$ の公差を、階差数列を $\{b_n\}$ とすると

$b_n=a_{n+1}-a_n=d$

である．

よって， $n\geqq 2$ のとき

$\begin{align*} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\\ &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}d\\ &=a_1+(n-1)d \end{align*}$

となり、等差数列の一般項が出てくる．

等差数列の一般項の公式より，階差数列の公式の方が原始的ということか？

等比数列はどうだろう。

階比数列を $\{b_n\}$ とすると（意味はお察しください）、

　　 $\begin{align*} a_n&=a_1+\prod_{k=1}^{n-1}b_k \end{align*}$

のような感じ．

$\prod$ は積の記号だが、この記号に関する公式は？？

それを考えるのも面白そうだが、

今は、両辺の対数をとって、

$\begin{align*} \log a_n&=\log\left( a_1\prod_{k=1}^{n-1}b_k\right )\\ &=\log a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\log b_k\\ &=\log a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\log r\\ &=\log a_1+(n-1)\log r \end{align*}$

底の上に乗せると、

　　 $\begin{align*} a_n&=a_1r^{n-1} \end{align*}$

となり等比数列の一般項の公式が出てくる。

和から一般項を求める　n=1の確認

数列の和から一般項を求めることができる．

定理１．　数列 $\{ a_n\}$ の初項から第項までの和を S_n とすると

　　 $\begin{align*} a_1&=S_1\\ a_n&=S_n-S_{n-1}\quad(n\geqq 2) \end{align*}$

である．

この定理を使うと，n=1のときだけ別に確かめる必要がある．

実際， $S_n-S_{n-1}$ では初項を表せない問題もある．

初項が表せるかどうかは何で決まるのか？

$S_n-S_{n-1}$ が初項も表すとすると，

$\begin{align*} a_1&=S_1-S_0\\ a_1&=a_1-S_0\\ \therefore\; S_0&=0 \end{align*}$

逆も成り立つ．

よって，

初項も表せるのは， S_n がを満たす式で与えられているときである．