Accademia Nuts -18ページ目

数式が表示されない

どうも数式が表示されないですね。

スマートフォンで見ると、表示されるのですが、
PCで見ると、数式が消えています。なんでや？

$\int f(x) dx$

↑「ブログを書く」の「プレビュー」では積分が表示されていますが。。。

試しに、これで投稿してみます。

隣接三項間漸化式の変形　～線形代数の視点から～

隣接三項間漸化式 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ は、行列を用いて

$\begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}$

と表すことができる。
単なる一般項ではなく、隣接二項をセットにして考えるのがミソ。
すると、数列（ベクトル列） $\left\{\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\right\}$

は公比 $\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}$

の「等比数列」と考えることができる。

行列 $\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}$

を数列 $\{a_{n}\}$ のシフト行列と呼ぶことにしよう。（項がひとつ右にシフトするから）

さて、シフト行列の固有方程式は、

$\begin{align*} det\left(\lambda E-\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\right)&=0\\ \begin{vmatrix}\lambda-p&-q\\-1&\lambda \end{vmatrix}&=0\\ (\lambda-p)\lambda-q&=0\\ \lambda^2-p\lambda-q&=0 \end{align*}$

となり，漸化式の特性方程式に一致する。

ということは、解を $\alpha,\beta$ とすると、

$\begin{align*} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\\ a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n}) \end{align*}$

が成り立つ。

一方、 $\alpha,\beta$ はシフト行列の固有値である。上記漸化式の変形と固有値とはどのような関係か。

固有ベクトルを求めてみると、

$\begin{align*} \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &=\lambda\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}\lambda-p&-q\\-1&\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=0\\ \left\langle\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right\rangle&=\left\langle\begin{pmatrix}\lambda\\1\end{pmatrix}\right\rangle \end{align*}$

よって、固有方程式（特性方程式）が重解でないならば、

$\begin{align*} \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}\alpha^2&\beta^2\\\alpha&\beta\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \end{align*}$

より

$\begin{align*} \begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\\ \frac{1}{\alpha-\beta}\begin{pmatrix}1&-\beta\\-1&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\alpha-\beta}\begin{pmatrix}1&-\beta\\-1&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}a_{n+2}-\beta a_{n+1}\\-a_{n+2}+\alpha a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{n+1}-\beta a_{n}\\-a_{n+1}+\alpha a_{n}\end{pmatrix} \end{align*}$

というわけで、漸化式の「あの変形」は対角化だったことがわかる。

しかし、どうも筆者は、これだけではまだ「わかった」気になれない。
対角化だったというのは、きれいだけど。

本質から理解する　数学的手法

本質から理解する　数学的手法
Essential Understanding of Mathematical Methods
荒木修　齋藤智彦　共著
裳華房　2016

図書館で見つけて少し読んでみました。
図がたくさんあり、開いて見た感じの良さで、借りることにしました。
今まで見たことないなと思っていましたが、それもそのはず、２０１６年１１月発行でした。新しい！
ページレイアウトは非常に良いと思います。好みです。こんな本が増えればいいなあ。

ベクトル解析、固有値、フーリエ変換など、大学で学ぶ数学の基本的なことが、わかりやすく解説されています。
大学で数学を学んでいる方は、参考書のひとつとしていかがでしょうか。

線形代数は、教科書ではｎ次元でやって済ましていることが多いですが、２次元の場合の簡単な計算例なども載っています。ちょうど、漸化式の特性方程式について考えていたときだったので、参考になりました。
具体的な２次元や３次元の例は、本当は、本に書いてなくても自分で考えて計算してみるものなんでしょうが、こういう親切な本もありがたい。
自分でやってみようとして詰まったときに、ちらっと読んでみると、よいアドバイスをもらった感じです。

カバーの見た目よりも、内容はしっかりしていると思います。

数式が表示されない

隣接三項間漸化式の変形 ～線形代数の視点から～

本質から理解する 数学的手法

隣接三項間漸化式の変形　～線形代数の視点から～

本質から理解する　数学的手法