隣接三項間漸化式の変形　～線形代数の視点から～

隣接三項間漸化式 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ は、行列を用いて

$\begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}$

と表すことができる。
単なる一般項ではなく、隣接二項をセットにして考えるのがミソ。
すると、数列（ベクトル列） $\left\{\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\right\}$

は公比 $\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}$

の「等比数列」と考えることができる。

行列 $\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}$

を数列 $\{a_{n}\}$ のシフト行列と呼ぶことにしよう。（項がひとつ右にシフトするから）

さて、シフト行列の固有方程式は、

$\begin{align*} det\left(\lambda E-\begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\right)&=0\\ \begin{vmatrix}\lambda-p&-q\\-1&\lambda \end{vmatrix}&=0\\ (\lambda-p)\lambda-q&=0\\ \lambda^2-p\lambda-q&=0 \end{align*}$

となり，漸化式の特性方程式に一致する。

ということは、解を $\alpha,\beta$ とすると、

$\begin{align*} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\\ a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n}) \end{align*}$

が成り立つ。

一方、 $\alpha,\beta$ はシフト行列の固有値である。上記漸化式の変形と固有値とはどのような関係か。

固有ベクトルを求めてみると、

$\begin{align*} \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &=\lambda\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}\lambda-p&-q\\-1&\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=0\\ \left\langle\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right\rangle&=\left\langle\begin{pmatrix}\lambda\\1\end{pmatrix}\right\rangle \end{align*}$

よって、固有方程式（特性方程式）が重解でないならば、

$\begin{align*} \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}\alpha^2&\beta^2\\\alpha&\beta\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \end{align*}$

より

$\begin{align*} \begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}p&q\\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix}\\ \frac{1}{\alpha-\beta}\begin{pmatrix}1&-\beta\\-1&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\alpha-\beta}\begin{pmatrix}1&-\beta\\-1&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}a_{n+2}-\beta a_{n+1}\\-a_{n+2}+\alpha a_{n+1}\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{n+1}-\beta a_{n}\\-a_{n+1}+\alpha a_{n}\end{pmatrix} \end{align*}$

というわけで、漸化式の「あの変形」は対角化だったことがわかる。

しかし、どうも筆者は、これだけではまだ「わかった」気になれない。
対角化だったというのは、きれいだけど。

隣接三項間漸化式の変形 ～線形代数の視点から～

隣接三項間漸化式の変形　～線形代数の視点から～