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放物線と円の接触

放物線と円の接触について

①3点を通る円の極限

②n次の接触

③曲率が最大になる点（頂点）

の3つの観点で調べる。

放物線 $y=x^2$ を考え、点(0, 0)で接触する円について調べる。

①3点を通る円の極限

『本格数学練習帳２　メビウスの作った曲面』（D. フックス、S. タバチニコフ、岩波書店）の第10講のはじめの方の記述を参考に考える。

＜接触円について＞

平面上の曲線γを考える。γに点(x, y)∈γで接する円の中で、γに「最も接する」ものを「接触円」という。接触円は次のように構成することができる。曲線γを、tを用いてパラメータ表示する。γ上の点(x, y)を点γ(t)と表すことにして、曲線γ上の３点γ(t－ε), γ(t), γ(t＋ε)を通る円を考える。この円の、ε→0としたときの極限が点xにおける接触円である。

放物線 $y=x^2$ 上の３点 $(-t,t^2),(0,0),(t,t^2)$ を通る円を考える。半径を $r$ とすると、中心は $(0,r)$ で、

$\begin{align*}r^2=(t-0)^2+(t^2-r)^2\\r^2=t^2+t^4-2t^2r+r^2\\2t^2r=t^2+t^4\\r=\frac{1}{2}(1+t^2)\end{align*}$

ここで、 $t\rightarrow 0$ とすると、 $r\rightarrow\textstyle\frac{1}{2}$

よって、接触円は、中心 $(0,\textstyle\frac{1}{2})$ 、半径 $\textstyle\frac{1}{2}$ の円である。

②n次の接触

『岩波全書226　微分幾何学』（窪田忠彦、佐々木重夫、岩波書店）の第１章§３の記述を参考に考える。

＜n次の接触について＞

曲面F(x,y,z)=0と曲線x=f(s), y=g(s), z=h(s)を考える。曲線上の点を曲面の方程式の左辺に代入してできる、sの関数 $\varphi(s)=F(f(s),g(s),h(s))$ について、 $\varphi(s)=0,\varphi'(s)=0,\varphi''(s)=0,\cdots,\varphi^{(n)}(s)=0$ かつ $\varphi^{(n+1)}(s)\neq 0$ であるとき、曲線と曲面とはn次の接触（contact of the nth order）をするという。

※パラメータsは弧長である。またFに関する条件もあるがここでは省略する。

『微分幾何学』では、曲面と空間曲線を扱っているが、この記事では平面上の曲線と曲線について適用する。

放物線 $y=x^2$ と①で求めた円とが点(0, 0)において３次の接触をすることを確かめる。

$F(x,y)=x^2-y$

$\begin{align*}f(s)&=\textstyle\frac{1}{2}\cos 2s\\g(s)&=\textstyle\frac{1}{2}\sin 2s+\frac{1}{2}\end{align*}$

とする。円は弧長sがパラメータになるようにしている。このとき、

$\begin{align*}&\varphi(s)=\left(\frac{1}{2}\cos 2s\right)^2-\frac{1}{2}\sin 2s-\frac{1}{2}\\&\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi'(s)=-\cos 2s(\sin 2s+1)\\&\varphi'\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi''(s)=-2\cos 4s+2\sin 2s\\&\varphi''\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi'''(s)=8\sin4s+4\cos2s\\&\varphi'''\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\\&\varphi^{(4)}(s)=16\cos4s-8\sin2s\\&\varphi^{(4)}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\neq 0\end{align*}$

よって、３次の接触をする。

『メビウスの作った曲面』によると、接触円は曲線と３点接触をするとか、曲線に位数２の接し方をするという、とのことである。さらに、曲線の頂点で位数は通常よりも高くなり超接触をする、ということである。

位数とは接触の次数のことだろう。そうすると、確かに頂点で超接触している。

曲線どうしの場合、どちらをF(x,y,z)=0にして、どちらをパラメータ表示するか、ということが考えられるが、パラメータは弧長sを使わないといけない。放物線を弧長sでパラメータ表示するのは難しいので、放物線をF(x,y,z)=0で表し、円をパラメータ表示した。

③曲率が最大になる点（頂点）

＜曲率について＞

『曲線と曲面の微分幾何』（小林昭七、裳華房）第１章§２の記述を参考に考える。

曲率は

$\kappa(t)=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{\{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2\}^{\frac{3}{2}}}$

で計算できる。

放物線 $y=x^2$ を $x=t,y=t^2$ とパラメータ表示し、点(0, 0)における曲率を計算すると

$\kappa(t)=\frac{1\cdot2-0\cdot2t}{\{1^2+(2t)^2\}^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{(1+4t^2)^{\frac{3}{2}}}$

『メビウスの作った曲面』によると、曲率が最大や最小になるところを頂点という。

曲率はt=0のとき最大になるから、点(0, 0)が頂点となり、数学Ⅰで学習する放物線の頂点と一致し、つじつまが合う。また、このときの曲率はκ(0)＝2である。曲率の逆数が曲率半径だから、①で求めた円の半径が $\textstyle\frac{1}{2}$ であることともつじつまが合う。

2×2のユニタリ行列の成分について

この記事では、複素数を成分とする2×2行列を扱います。

次の命題を証明します。

命題１．任意のユニタリ行列は、

$\begin{align*}&\begin{pmatrix}e^{i\varphi_1}\cos\theta&e^{i\varphi_2}\sin\theta\\e^{i\varphi_3}\sin\theta&e^{i\varphi_4}\cos\theta\\\end{pmatrix}\\&\qquad 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{\,2\,}\\&\qquad\varphi_1-\varphi_2-\varphi_3+\varphi_4=\pi+2n\pi\end{align*}$

と表すことができる。

ただし、φ1,φ2,φ3,φ4は実数、nは整数である。

証明で使う言葉・記号を確認します。

複素数を成分とする行列

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}$

に対して、行列A*を

$A^*={}^t\bar{A}=\begin{pmatrix}\bar{a}&\bar{c}\\\bar{b}&\bar{d}\end{pmatrix}$

と定めます。（「t」は転置です。）

行列Aがユニタリ行列であるとは

$A^*A=AA^*=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}$

が成り立つことです。

unitは「単位」という意味です。

ユニタリ行列は、複素平面における単位円周上の点と似たところがあります。

ユニタリ行列の関係式は、複素数でいえば $\bar{z}z=z\bar{z}=1$ です。

これは $|z|^2=1$ ですからzは単位円周上の点です。

単位円周上の複素数もユニタリ行列も、

「ペアどうしを掛けると１（単位元）になる」というところが共通しています。

命題１の証明

ユニタリ行列であることから成分を計算して

$\begin{align*}|a|^2+|b|^2=1\\|c|^2+|d|^2=1\\a\bar{c}+b\bar{d}=0\\|a|^2+|c|^2=1\\|b|^2+|d|^2=1\\a\bar{b}+c\bar{d}=0\end{align}$

を得ます。

（線形代数を知っていれば、

縦どうしが正規直交基底、横どうしも正規直交基底ということです。

ベクトルの大きさが1で、内積が0ということです。）

絶対値を含む式4つから

$\begin{align*}|a|=|d|=\cos\theta,\quad|b|=|c|=\sin\theta\\0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{\,2\,}\end{align*}$

とおけます。a,b,c,dは複素数ですから極形式を使って

$\begin{align*}a&=e^{i\varphi_1}\cos\theta\\b&=e^{i\varphi_2}\sin\theta\\c&=e^{i\varphi_3}\sin\theta\\d&=e^{i\varphi_4}\cos\theta\\\end{align*}$

とおけます。ここで $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ です。

θ=0,π/2のときは個々に示せるのでよいとして（省略）、

それ以外のとき、cosθsinθ≠0なので、

残りの2つの式（上線のある式、内積の式）から

$\begin{align*}e^{i(\varphi_1+\varphi_4)}+e^{i(\varphi_2+\varphi_3)}&=0\\e^{i(\varphi_1-\varphi_2-\varphi_3+\varphi_4)}&=-1\\\varphi_1-\varphi_2-\varphi_3+\varphi_4&=\pi+2n\pi\end{align*}$

となります。ここでnは整数です。

よって、示されました。

クロソイドをめぐって

クロソイド（clothoid）は媒介変数表示

$\begin{align}x=\int_0^L\cos\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\\y=\int_0^L\sin\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\end{align}$

で表される曲線です。

クロソイドは、曲率半径をR、弧長をLとして、「積RLが一定の曲線」と定義されます。

$\begin{align}RL=A^2\\L=A^2\kappa\end{align}$

ここで、Aはクロソイドパラメータというそうです。2乗になっているのはレムニスケートを思い起こさせます。また、κは曲率で、Rの逆数です。

進めば進むほど曲がり具合が大きくなる（コンパクトな曲がりになる）わけです。

概形はネットで検索してみてください。この曲線は道路のカーブに使われているそうで、Youtubeで「クロソイド」を検索すると測量士の資格試験対策の動画が出てきました。（積分は出てこなくてかけ算で済む問題でした。）

Youtubeでは数学的な解説を見つけられなったのですが、webページのMathWills「クロソイド曲線の導出」は参考になりました。webページを頼りに導出の過程を追う中で、一般の曲線でも

$\begin{align}x(L)=x(0)+\int_0^L\cos\theta\,d\ell\\y(L)=y(0)+\int_0^L\sin\theta\,d\ell\end{align}$ 　…★

が成り立つことに気付きました。ここで、ℓは弧長、θは接線とx軸のなす角です。

クロソイドの場合は

$\begin{align}\kappa=&\frac{1}{R}\\\frac{d\theta}{dL}=&\frac{L}{A^2}\end{align}$

となるので（左辺は曲率の定義より、右辺はクロソイドの定義より）、

原点をスタート位置（L=0の点）とすると、そこでは概形よりθ=0だから、

$\begin{align}\int_0^{\theta_1}d\theta=&\int_0^{L_1}\frac{L}{A^2}\,dL\\\Big\[\theta\Big\]_0^{\theta_1}&=\frac{1}{A^2}\left\[\frac{L^2}{2}\right\]_0^{L_1}\\\theta_1=&\frac{L_1^2}{2A^2}\end{align}$

改めてθ、Lを使うと、

$\theta=\frac{L^2}{2A^2}=\frac{L}{2R}$

これがクロソイドにおける公式です。A=1として、これを一般論★に適用すればクロソイドの媒介変数表示が得られます。

最後に、★の導出について書きます。

曲線上に2点P(x,y), Q(x+Δx, y+Δy)を取ります。

点Pにおける接線とx軸がなす角をθ、点Qにおける接線とx軸がなす角をθ+Δθとします。

2点P, Qを十分近くとれば、P, Qの間では曲線は単調増加か単調減少になります。

よって,~P, Qの間では接線とx軸のなす角は単調に変化します。

ゆえに、2点P, Qを十分近いときは、直線PQがx軸となす角はθとθ+Δθの間の値を取ります。

この値をθ+α (0<α<Δθ)と書くと、

$\begin{align}\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\frac{\Delta x}{\Delta L}=&\frac{{\rm PQ}}{\Delta L}\cdot(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\end{align}$

ここで、点Qを点Pに限りなく近づけるとα→0、そしてたぶんPQ／ΔL→1となるから

$\begin{align}\frac{d x}{d L}=&(\cos\theta\cdot 1-\sin\theta\cdot 0)\\=&\cos\theta\end{align}$

yも同様である。両辺を積分すれば★が得られます。

※PQ／ΔL→1が成り立たないような曲線では、★が成り立つ保証はありません。

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