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クロソイドをめぐって

クロソイド（clothoid）は媒介変数表示

$\begin{align}x=\int_0^L\cos\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\\y=\int_0^L\sin\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\end{align}$

で表される曲線です。

クロソイドは、曲率半径をR、弧長をLとして、「積RLが一定の曲線」と定義されます。

$\begin{align}RL=A^2\\L=A^2\kappa\end{align}$

ここで、Aはクロソイドパラメータというそうです。2乗になっているのはレムニスケートを思い起こさせます。また、κは曲率で、Rの逆数です。

進めば進むほど曲がり具合が大きくなる（コンパクトな曲がりになる）わけです。

概形はネットで検索してみてください。この曲線は道路のカーブに使われているそうで、Youtubeで「クロソイド」を検索すると測量士の資格試験対策の動画が出てきました。（積分は出てこなくてかけ算で済む問題でした。）

Youtubeでは数学的な解説を見つけられなったのですが、webページのMathWills「クロソイド曲線の導出」は参考になりました。webページを頼りに導出の過程を追う中で、一般の曲線でも

$\begin{align}x(L)=x(0)+\int_0^L\cos\theta\,d\ell\\y(L)=y(0)+\int_0^L\sin\theta\,d\ell\end{align}$ 　…★

が成り立つことに気付きました。ここで、ℓは弧長、θは接線とx軸のなす角です。

クロソイドの場合は

$\begin{align}\kappa=&\frac{1}{R}\\\frac{d\theta}{dL}=&\frac{L}{A^2}\end{align}$

となるので（左辺は曲率の定義より、右辺はクロソイドの定義より）、

原点をスタート位置（L=0の点）とすると、そこでは概形よりθ=0だから、

$\begin{align}\int_0^{\theta_1}d\theta=&\int_0^{L_1}\frac{L}{A^2}\,dL\\\Big\[\theta\Big\]_0^{\theta_1}&=\frac{1}{A^2}\left\[\frac{L^2}{2}\right\]_0^{L_1}\\\theta_1=&\frac{L_1^2}{2A^2}\end{align}$

改めてθ、Lを使うと、

$\theta=\frac{L^2}{2A^2}=\frac{L}{2R}$

これがクロソイドにおける公式です。A=1として、これを一般論★に適用すればクロソイドの媒介変数表示が得られます。

最後に、★の導出について書きます。

曲線上に2点P(x,y), Q(x+Δx, y+Δy)を取ります。

点Pにおける接線とx軸がなす角をθ、点Qにおける接線とx軸がなす角をθ+Δθとします。

2点P, Qを十分近くとれば、P, Qの間では曲線は単調増加か単調減少になります。

よって,~P, Qの間では接線とx軸のなす角は単調に変化します。

ゆえに、2点P, Qを十分近いときは、直線PQがx軸となす角はθとθ+Δθの間の値を取ります。

この値をθ+α (0<α<Δθ)と書くと、

$\begin{align}\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\frac{\Delta x}{\Delta L}=&\frac{{\rm PQ}}{\Delta L}\cdot(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\end{align}$

ここで、点Qを点Pに限りなく近づけるとα→0、そしてたぶんPQ／ΔL→1となるから

$\begin{align}\frac{d x}{d L}=&(\cos\theta\cdot 1-\sin\theta\cdot 0)\\=&\cos\theta\end{align}$

yも同様である。両辺を積分すれば★が得られます。

※PQ／ΔL→1が成り立たないような曲線では、★が成り立つ保証はありません。

百五減算・中国剰余定理　３変数の場合

問題

５で割ると3余り、9で割ると2余り、14で割ると6余る整数をすべて求めよ。

検討

前回の記事「百五減算・中国剰余定理　２変数の場合」と同じようにして解けるが、

求める自然数Nを　 $N=5a+9b+14c$ 　とおくのはうまくない。

$\begin{align*}N\equiv3&\mod5\\5a+9b+14c\equiv3&\mod5\\0a+4b+4c\equiv3&\mod5\end{align*}$

のようにbもcも残ってしまう。

そこで　 $N=9\cdot 14\cdot a+14\cdot5\cdot b+5\cdot 9\cdot c$ 　とおく。

解

5,9,14のどの2つも互いに素だから、求める整数Nは、整数a、b、ｃを用いて

$N=9\cdot 14\cdot a+14\cdot5\cdot b+5\cdot 9\cdot c$

と表せる。

「百五減算・中国剰余定理　２変数の場合」で使った理屈を２回使う。

まず、9×14と5は互いに素だから、任意の整数Nに対して

$N=9\cdot14\cdot a+5M$ 　となる整数a,Mがある。

次に、9と14は互いに素なので、その整数Mに対して

$M=9b+14c$ 　となる整数b,cがある。

Nを5で割って3余るための条件は

$\begin{align*}N\equiv 3&\mod5\\9\cdot14 a+14\cdot 5 b+5\cdot 9 c\equiv3&\mod5\\4\cdot4 a+0b+0c\equiv3&\mod5\\a\equiv 3&\mod5\end{align}$

よって、Nを5で割って3余るための条件は、

ℓを整数として $a=5\ell +3$ と表せることである。

同様にして、

Nを9で割って2余るための条件は、

mを整数として $b=9m +8$ と表せることであり、

Nを14で割って6余るための条件は、

nを整数として $c=14n+2$ と表せることである。

以上より条件を満たす整数Nは

$\begin{align*}N=&9\cdot14(5\ell+3)+14\cdot5(9m+8)+5\cdot9(14n+2)\\=&5\cdot9\cdot14(\ell+m+n+1)+398\end{align}$

ここで、ℓ,m,nは任意の整数であるから、求める整数は

$N=630k+398\quad(k\in\mathbb{Z})$

百五減算・中国剰余定理　２変数の場合

問題

9で割ると2余り、14で割ると6余る整数をすべて求めよ。

解

9と14は互いに素だから、求める整数Nは、整数a、bを用いて

$N=9a+14b$

と表せる。

Nがどんな自然数であったとしても、うまくa、bを選べば、

$N=9a+14b$ と表すことができる。

実際、これをaとbを未知数とする不定方程式と考えて解けば

そのようなa、bを見つけることができる。

解く過程で9と14が互いに素であることを利用する。

Nを9で割って2余るための条件は

$\begin{align*}N&\equiv 2\mod9\\9a+14b&\equiv 2\mod9\\0a+5b&\equiv 2\mod9\\10b&\equiv 4\mod9\\b&\equiv4\mod9\end{align*}$

（3行目から4行目は両辺2倍した。）

よって、Nを9で割って2余るための条件は、kを整数として

$b=9k+4$

と表せることである。

Nを14で割って6余るための条件は

$\begin{align*}N\equiv 6&\mod14\\9a+0b\equiv 6&\mod14\\27a\equiv 18&\mod14\\-a\equiv4&\mod14\\a\equiv-4\equiv10&\mod14\end{align*}$

よって、Nを14で割って6余るための条件は、ℓを整数として

$a=14\ell +10$

と表せることである。

以上より条件を満たす整数Nは

$\begin{align*}N=&9(14\ell +10)+14(9k+4)\\=&9\cdot14(\ell+k+1)+20\end{align*}$

ここで、k、ℓは任意の整数であるから、求める整数は

$N=126n+20\quad (n\in\mathbb{Z})$

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