クロソイドをめぐって

クロソイド（clothoid）は媒介変数表示

$\begin{align}x=\int_0^L\cos\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\\y=\int_0^L\sin\frac{\ell^2}{2}\,d\ell\end{align}$

で表される曲線です。

クロソイドは、曲率半径をR、弧長をLとして、「積RLが一定の曲線」と定義されます。

$\begin{align}RL=A^2\\L=A^2\kappa\end{align}$

ここで、Aはクロソイドパラメータというそうです。2乗になっているのはレムニスケートを思い起こさせます。また、κは曲率で、Rの逆数です。

進めば進むほど曲がり具合が大きくなる（コンパクトな曲がりになる）わけです。

概形はネットで検索してみてください。この曲線は道路のカーブに使われているそうで、Youtubeで「クロソイド」を検索すると測量士の資格試験対策の動画が出てきました。（積分は出てこなくてかけ算で済む問題でした。）

Youtubeでは数学的な解説を見つけられなったのですが、webページのMathWills「クロソイド曲線の導出」は参考になりました。webページを頼りに導出の過程を追う中で、一般の曲線でも

$\begin{align}x(L)=x(0)+\int_0^L\cos\theta\,d\ell\\y(L)=y(0)+\int_0^L\sin\theta\,d\ell\end{align}$ 　…★

が成り立つことに気付きました。ここで、ℓは弧長、θは接線とx軸のなす角です。

クロソイドの場合は

$\begin{align}\kappa=&\frac{1}{R}\\\frac{d\theta}{dL}=&\frac{L}{A^2}\end{align}$

となるので（左辺は曲率の定義より、右辺はクロソイドの定義より）、

原点をスタート位置（L=0の点）とすると、そこでは概形よりθ=0だから、

$\begin{align}\int_0^{\theta_1}d\theta=&\int_0^{L_1}\frac{L}{A^2}\,dL\\\Big\[\theta\Big\]_0^{\theta_1}&=\frac{1}{A^2}\left\[\frac{L^2}{2}\right\]_0^{L_1}\\\theta_1=&\frac{L_1^2}{2A^2}\end{align}$

改めてθ、Lを使うと、

$\theta=\frac{L^2}{2A^2}=\frac{L}{2R}$

これがクロソイドにおける公式です。A=1として、これを一般論★に適用すればクロソイドの媒介変数表示が得られます。

最後に、★の導出について書きます。

曲線上に2点P(x,y), Q(x+Δx, y+Δy)を取ります。

点Pにおける接線とx軸がなす角をθ、点Qにおける接線とx軸がなす角をθ+Δθとします。

2点P, Qを十分近くとれば、P, Qの間では曲線は単調増加か単調減少になります。

よって,~P, Qの間では接線とx軸のなす角は単調に変化します。

ゆえに、2点P, Qを十分近いときは、直線PQがx軸となす角はθとθ+Δθの間の値を取ります。

この値をθ+α (0<α<Δθ)と書くと、

$\begin{align}\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\Delta x=&{\rm PQ}\cdot\cos(\theta+\alpha)\\\frac{\Delta x}{\Delta L}=&\frac{{\rm PQ}}{\Delta L}\cdot(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\end{align}$

ここで、点Qを点Pに限りなく近づけるとα→0、そしてたぶんPQ／ΔL→1となるから

$\begin{align}\frac{d x}{d L}=&(\cos\theta\cdot 1-\sin\theta\cdot 0)\\=&\cos\theta\end{align}$

yも同様である。両辺を積分すれば★が得られます。

※PQ／ΔL→1が成り立たないような曲線では、★が成り立つ保証はありません。