正弦の加法定理
を証明します。微分を使います。
＜証明＞
のとき、加法定理の右辺は
と書ける。
であるから、Fはαについて定数関数であり、
これは任意のcに対して成り立つから、示された。
数学の証明と、音楽の１曲を比較してみます。
音楽では、同じメロディーが何度も出てきます。同じメロディーが二度と出てこなかったら、それは変わった曲です。数学の証明では、同じ何かが何度も出てくることは必須ではありません。証明する者の意志で同じことを繰り返すこともできません。
音楽では繰り返しは大きな意味があると思います。「Aメロ、Bメロ、さび、Aメロ」とか「提示部、展開部、再現部」とか、最初のメロディが戻ってくることで得られる感動や安心感は、音楽の構造に不可欠な要素です。こうした種類の感動や安心感を、証明から感じることはないと思います。
数学も音楽も、構造を大切にする点は共通しますが、構造の作り方や構造を成立させる論理は、ずいぶん異なります。
ユークリッドの互除法のもとになる、最大公約数の性質を証明します。
とても原始的です。
割り算（除）じゃなく引き算（差）です。
それどころか、「互」ですらない？ 互除法の“互”って何なんでしょうか？？
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【定理】
A，B，Cは整数とする。
A－B＝Cのとき，AとBの最大公約数は、BとCの最大公約数と一致する。
＜証明＞
ＡとＢの最大公約数をG、ＢとＣの最大公約数とＨとする。
A＝Gａ，Ｂ＝Ｇｂ（ａ，ｂは整数）と表せるから、
C＝Ａ－Ｂ＝Ｇ（ａ－ｂ）となり、GはCの約数である。
よって、ＧはＢとＣの公約数である。
Ｈの最大性より、Ｇ≦Ｈ・・・①
Ｂ＝Ｈｍ，Ｃ＝Ｈｎ（ｍ，ｎは整数）と表せるから、
Ａ＝Ｂ＋Ｃ＝Ｈ（ｍ＋ｎ）となり、ＨはＡの約数である。
よって、ＨはＡとＢの公約数である。
Ｇの最大性より、Ｇ≧Ｈ・・・②
①②より、Ｇ＝Ｈ （証明おわり）
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この定理からすぐ導かれることを系として挙げておきます。
【系１】
Ａ＋Ｂ＝Ｃのとき、ＡとＢの最大公約数は、ＢとＣの最大公約数と一致する。
Ｂは整数だから、代わりに－Ｂにすればよい。引いてることにあまり意味はなく、足してもいいということ。
【系２】
Ａ＋Ｂ＝Ｃのとき、ＡとＢの最大公約数は、ＡとＣの最大公約数と一致する。
系１で、条件はＡとＢについて対称だから、ＡとＢを入れ替えればよい。
したがって、Ａ－Ｂ＝ＣでもＡ＝Ｂ＋ＣでもＡ－Ｃ＝Ｂでもよいのです。
どうせなら左辺にまとめて、
【系３】
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０のとき、
ＡとＢの最大公約数、ＢとＣの最大公約数、ＣとＡの最大公約数はすべて等しい。
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では、４つにしたらどうか？
【系？】
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝０のとき、
ＡとＢの最大公約数、ＡとＣの最大公約数、ＡとＤの最大公約数、ＢとＣの最大公約数、ＢとＤの最大公約数、ＣとＤの最大公約数はすべて等しい？
これは、
残念ながら無理です。
反例は簡単に作れます。
４－２＋１－３＝０
４と２の最大公約数は２だが、他のペアでは最大公約数は１になってしまう。
系３で、左辺の項数「３」は特別なのです。
（おわり）