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百五減算・中国剰余定理　３変数の場合

問題

５で割ると3余り、9で割ると2余り、14で割ると6余る整数をすべて求めよ。

検討

前回の記事「百五減算・中国剰余定理　２変数の場合」と同じようにして解けるが、

求める自然数Nを　 $N=5a+9b+14c$ 　とおくのはうまくない。

$\begin{align*}N\equiv3&\mod5\\5a+9b+14c\equiv3&\mod5\\0a+4b+4c\equiv3&\mod5\end{align*}$

のようにbもcも残ってしまう。

そこで　 $N=9\cdot 14\cdot a+14\cdot5\cdot b+5\cdot 9\cdot c$ 　とおく。

解

5,9,14のどの2つも互いに素だから、求める整数Nは、整数a、b、ｃを用いて

$N=9\cdot 14\cdot a+14\cdot5\cdot b+5\cdot 9\cdot c$

と表せる。

「百五減算・中国剰余定理　２変数の場合」で使った理屈を２回使う。

まず、9×14と5は互いに素だから、任意の整数Nに対して

$N=9\cdot14\cdot a+5M$ 　となる整数a,Mがある。

次に、9と14は互いに素なので、その整数Mに対して

$M=9b+14c$ 　となる整数b,cがある。

Nを5で割って3余るための条件は

$\begin{align*}N\equiv 3&\mod5\\9\cdot14 a+14\cdot 5 b+5\cdot 9 c\equiv3&\mod5\\4\cdot4 a+0b+0c\equiv3&\mod5\\a\equiv 3&\mod5\end{align}$

よって、Nを5で割って3余るための条件は、

ℓを整数として $a=5\ell +3$ と表せることである。

同様にして、

Nを9で割って2余るための条件は、

mを整数として $b=9m +8$ と表せることであり、

Nを14で割って6余るための条件は、

nを整数として $c=14n+2$ と表せることである。

以上より条件を満たす整数Nは

$\begin{align*}N=&9\cdot14(5\ell+3)+14\cdot5(9m+8)+5\cdot9(14n+2)\\=&5\cdot9\cdot14(\ell+m+n+1)+398\end{align}$

ここで、ℓ,m,nは任意の整数であるから、求める整数は

$N=630k+398\quad(k\in\mathbb{Z})$

百五減算・中国剰余定理　２変数の場合

問題

9で割ると2余り、14で割ると6余る整数をすべて求めよ。

解

9と14は互いに素だから、求める整数Nは、整数a、bを用いて

$N=9a+14b$

と表せる。

Nがどんな自然数であったとしても、うまくa、bを選べば、

$N=9a+14b$ と表すことができる。

実際、これをaとbを未知数とする不定方程式と考えて解けば

そのようなa、bを見つけることができる。

解く過程で9と14が互いに素であることを利用する。

Nを9で割って2余るための条件は

$\begin{align*}N&\equiv 2\mod9\\9a+14b&\equiv 2\mod9\\0a+5b&\equiv 2\mod9\\10b&\equiv 4\mod9\\b&\equiv4\mod9\end{align*}$

（3行目から4行目は両辺2倍した。）

よって、Nを9で割って2余るための条件は、kを整数として

$b=9k+4$

と表せることである。

Nを14で割って6余るための条件は

$\begin{align*}N\equiv 6&\mod14\\9a+0b\equiv 6&\mod14\\27a\equiv 18&\mod14\\-a\equiv4&\mod14\\a\equiv-4\equiv10&\mod14\end{align*}$

よって、Nを14で割って6余るための条件は、ℓを整数として

$a=14\ell +10$

と表せることである。

以上より条件を満たす整数Nは

$\begin{align*}N=&9(14\ell +10)+14(9k+4)\\=&9\cdot14(\ell+k+1)+20\end{align*}$

ここで、k、ℓは任意の整数であるから、求める整数は

$N=126n+20\quad (n\in\mathbb{Z})$

微分を使った、正弦の加法定理の証明

正弦の加法定理

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

を証明します。微分を使います。

＜証明＞

$\alpha+\beta=c$

のとき、加法定理の右辺は

$F(\alpha)=\sin\alpha\cos(c-\alpha)+\cos\alpha\sin(c-\alpha)$

と書ける。

$\begin{align*}\dfrac{dF}{d\alpha}&=\cos\alpha\cos(c-\alpha)+\sin\alpha\sin(c-\alpha)-\sin\alpha\sin(c-\alpha)-\cos\alpha\cos(c-\alpha)\\&=0 \end{align*}$

であるから、Fはαについて定数関数であり、

$\begin{align*}F(0)&=F(\alpha)\\\sin(c)&=\sin\alpha\cos(c-\alpha)+\cos\alpha\sin(c-\alpha)\\\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos(\beta)+\cos\alpha\sin(\beta)\end{align*}$

これは任意のcに対して成り立つから、示された。

百五減算・中国剰余定理 ３変数の場合

百五減算・中国剰余定理 ２変数の場合

微分を使った、正弦の加法定理の証明

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百五減算・中国剰余定理　２変数の場合