２０１０年の京大数学です。
http://server-test.net/math/php.php?name=kyoto&v1=1&v2=2010b&v3=1&v4=1&y=2010b&n=1
以下に解答例を記します。
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以下では２点を結ぶベクトルを〔〕を使って表します。たとえばベクトルＡＢを〔ＡＢ〕等と記します。
〔ＣＡ〕と〔ＣＢ〕が垂直なので、∠ＡＣＢ＝π／２。同様に考えて∠ＡＤＢ＝π／２です。
よってＡＢの中点をＯ，ＯＡ＝ＯＢ＝ｒと置くと、△ＡＢＣはＯを中心（そしてＡＢを直径）とする半径ｒの円Ｃ１に内接します。
同様に△ＡＢＤはＯを中心（ＡＢを直径）とする半径ｒの円Ｃ２に内接します。
Ｏを中心とする半径ｒの球面をＳと置くと、Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤはすべてＳ上にあります。
また、Ｃを含み、直線ＡＢに垂直な平面をＰと置くと、〔ＡＢ〕と〔ＣＤ〕が垂直であることから、Ｄも平面Ｐ上にあります。
Ｓと平面Ｐの交わりを円Ｃ３，その中心をＱ，半径をｄ，またＡＱ＝ｈと置くと、∠ＡＱＣ＝∠ＡＱＤ＝π／２なので
① ＡＣ＝ＡＤ＝√（ｄ＾２＋ｈ＾２）
すなわち△ＡＣＤはＡを頂点とする二等辺三角形となります。
二等辺三角形の頂角から底辺の中点に下ろした直線は底辺に垂直なので、ＡＭ⊥ＣＤ。かつ、条件からＡＢ⊥ＣＤです。
平面ＡＢＭ上の任意のベクトルｖは〔ＡＭ〕と〔ＡＢ〕の一次結合であり、これらのベクトルと〔ＣＤ〕との内積は０なので、ｖ・〔ＣＤ〕＝０です。
これは平面ＡＢＭと辺ＣＤが直交していることを示しています。すなわち題意は証明されました。
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幾何的に考えると分かりやすい問題です。京大らしい良問ですね。