２０１０年の京大理系数学 乙・５です。
http://server-test.net/math/php.php?name=kyoto&v1=1&v2=2010b&v3=1&v4=5&y=2010b&n=5
以下に解答例を記します。
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（１） 有理数ｄ（≠０）をｄ＝ｑ／ｐ・２＾ｒ （ｒは整数，ｐ，ｑは奇数）と表したときのｒの値をＯ（ｄ）と定義します。（素因数分解の一意性により、ｒは一意的に定義されます（ｄの既約分数表示を考える））
３＝４－１として二項展開すると
① ３＾a＝１－４・a＋４＾２・a（a－１）／２！－４＾３・a（a－１）（a－２）／３！＋……
ここで、正整数ｋに対し一般に
② O（ｋ！）＝〔ｋ／２〕＋〔ｋ／４〕＋〔ｋ／８〕＋……
≦ｋ／２＋ｋ／４＋ｋ／８＋…… （有限和）
＜k
が成り立ちます。（〔〕はガウス記号。２段目の和はその値が０にならない有限項の和）
よって
③ O（４＾ｋ／ｋ！）≧２ｋ－（ｋ－１）＝ｋ＋１ （１≦ｋ）
③およびa＝２＾ｎより
④ O（４＾ｋ・aＣｋ）≧ｎ＋ｋ＋１≧ｎ＋３ （２≦ｋ）
すなわち①の３項目以降はOの値がｎ＋３以上になります。
また、O（４・a）＝ｎ＋２です。
一般にO（ｘ）＞O（y）ならばO（x＋y）＝O（y）なので、①より
⑤ O（３＾a－１）＝n＋２
これにより、題意が成り立つことが示されました。
（２） ｍ＝s・２＾t （sは奇数，１≦ｔ）とし、次の二項展開を考えます。
⑥ ３＾ｍ＝（４－１）＾ｍ＝１－４・ｍ＋４＾２・ｍＣ２－４＾３・ｍＣ３＋……
（１）と同様に考えて、⑥の３項目以降のOの値はｔ＋３以上になります。また、O（４・ｍ）＝ｔ＋２なので、⑥より
⑦ O（３＾ｍ－１）＝ｔ＋２
ここで、３≦ｔならばｔ＋２＜２＾ｔが成り立ちます。（∵ ２＝１＋１として二項展開すると２＾ｔ≧１＋ｔ＋ｔＣ２＋ｔＣ３＞ｔ＋２）
よって３＾ｍ－１が２＾ｍで割り切れるならｔ≦２です。
ｔ＝２ならばO（ｍ）＝ｍ＝ｓ・２＾ｔがｔ＋２以下となるのはｓ＝１，すなわちｍ＝４の場合です。
同様に考えてｔ＝１の場合も可能なのはｓ＝１，すなわちｍ＝２の場合です。
逆に、ｍ＝２，４の場合は実際に３＾ｍ－１は２＾ｍで割り切れます。（それぞれ４｜８，１６｜８０となります）
以上により、題意は証明されました。
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３＝２＋１として二項展開してもなかなかうまくいかないようです。４－１と考えるところがポイントですね。