２０１１年の東大・前期理系数学です。
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問題： 座標平面において、点Ｐ（０，１）を中心とする半径１の円をＣとする。 a を０＜a＜１を満たす実数とし、直線 ｙ＝a（ｘ＋１） とＣとの交点をＱ，Ｒとする。
（１） △ＰＱＲの面積Ｓ（a）を求めよ。
（２） aが ０＜a＜１ の範囲を動くとき、Ｓ（a）が最大となる a を求めよ。
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以下に解答例を記します。
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（１） 直線 ｙ＝a（ｘ＋１）をＬとします。また、ＰからＬに下ろした垂線の足をＨと置きます。
一般に、
（＊） 直線 ｐｘ＋ｑｙ＋ｒ＝０ と点（ｓ，ｔ）との距離は｜ｐｓ＋ｑｔ＋ｒ｜／√（ｐ＾２＋ｑ＾２）で表される
ので、
① ＰＨ＝（１－a）／√（１＋a＾２）
② ＨＱ＝ＨＲ＝√（１－ＰＨ＾２）＝√（２a）／√（１＋a＾２）
よって
Ｓ（a）＝（ＨＱ＋ＨＲ）・ＰＨ／２＝（１－a）√（２a）／（１＋a＾２）
となります。
（２） ｘ軸と直線Ｌとの交点（－１，０）をＭとし、∠ＰＭＨ＝θと置くと、ＭＰ＝√２より
③ ＰＨ＝√２・sinθ
また、
④ ［Ｓ（a）］＾２＝［ＰＨ・２√（１－ＰＨ＾２）／２］＾２＝ＰＨ＾２（１－ＰＨ＾２）
０＜a＜１より０＜θ＜π／４なので、③より０＜ＰＨ＜１が成り立ちます。
よって④および相加・相乗平均の関係から、［Ｓ（a）］＾２はＰＨ＾２＝１／２のとき最大値１／４を取ることが分かります。
このことと③より、Ｓ（a）は sinθ＝１／２ のとき最大値１／２を取ることになります。
このときθ＝π／６なので、直線Ｌがｘ軸となす角はπ／４－π／６＝π／１２であることが分かります。
従って a＝tanπ／１２ です。
ここでtanπ／４＝１，tanπ／６＝１／√３なので、加法公式より
⑤ a＝［１－（１／√３）］／［１＋（１／√３）］＝２－√３
以上により、Ｓ（a）が最大値１／２を取るのは a＝２－√３ のときであることが導かれました。
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（２）においてはそもそも、∠ＰＱＲ＝αと置くと△ＰＱＲ＝（sin ２α）／２なので、α＝π／４のとき最大値１／２を取ることは明らかですが、そのときのaを求めるためにはいずれにしてもθを使った式で表示することになります。
従って結果的には、最初からそちらの式で考えた方が簡潔になりそうです。
また（１）に出てきた（＊）を証明なしに使っていいかどうかは定かでありませんが、（仮に証明するなら）たとえば次のようにして示すことができます。
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Ｘ軸およびＹ軸をそれぞれ、直線Ｅ： ｐｘ＋ｑｙ＋ｒ＝０ の法線ベクトル ｋ＝（ｐ，ｑ）に平行・垂直な座標軸としてＸＹ座標系を設定すると、Ｅは直線 Ｘ＝－ｒ／｜ｋ｜となります。（ここで、｜ｋ｜＝√（ｐ＾２＋ｑ＾２）です）
また、（ｘｙ座標系における）点Ｇ（ｓ，ｔ）の（原点に関する）位置ベクトル（ｓ，ｔ）をｇと置くと、ＧのＸＹ座標系におけるＸ座標はｇ・ｋ／｜ｋ｜＝（ｐｓ＋ｑｔ）／｜ｋ｜となります。
Ｇと直線Ｅの距離ｄはＧと直線Ｅ（上の任意の点）のＸ座標の差に等しいので
ｄ＝｜ｐｓ＋ｑｔ＋ｒ｜／√（ｐ＾２＋ｑ＾２）
であることが導かれました。
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この問題もまともに計算すると面倒なので、負担を減らすための工夫がポイントになりそうです。
そう難しい問題ではないので、なるべく時間をかけずにうまく処理したいところですね。