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では、今日も行きましょう。理系第5問です!

 

 

多分、こういう問題は、受験生が得意なタイプですね。

なんだかゴチャゴチャ計算していたら解けちゃった、みたいな問題です。

 

僕は、今の受験数学のトレンドとして、計算訓練をする比重が多いなと感じていて、本来はもっと理論的に教えるべきだと思っています。

ただ、この問題に関しては、理論を抜きにして、与えられた条件を代入して式をいじると解けてしまう。という事で、受験生が得意なタイプだろうと思うわけです。

 

まず(1)は共通接線の条件を立式するわけですが、今回はy=ax+bの式と、2つの放物線が接しているとのこと。

接する条件には色々ありますが、今回は素直に判別式で良さそうですね。

 

もう少し細かく言うと、例えば3次関数とか、指数や三角関数が含まれている関数であれば、微分を用いるのでしょうけど、そういうわけでもないし、

接点が分かっていれば、接点から接線を引く事も出来るんですが、ちょっと使える形ではない。

 

まあ、接するのが放物線(二次曲線)ですからね。あれこれ考えず、判別式を創っちゃえば良い、ということでしょう。

という事で、(判別式)=0の等式を2本立てると、(1)は解けてしまいます。

 

不明量がaとbとkで3文字。

それに対して、(判別式)=0の等式が2本です。

そして、問題文の要求が、bとkをaを用いて表せという事ですから、1文字分余ってOK

という事で、方針の目途も簡単に立ちます。

 

 

次に(2)。

これも、何も考えず、a=2を代入するところから始めます。

すると、(1)の結果もありますから、bとkの値が出ますね。

これで部分点は確保です。

 

これが何を意味しているかと言うと、求めたkの値の時に共通接線が3本あって、そのうちの1本がa=2かつ求めたbであるということ。

つまり、kはこれ以上いじらなくて良くて、aとbはあと2組求める必要があります。

という事で、今度は求めたkの値を元の式に代入して、aとbの値を探していく作業に移ります。

 

この辺りがややこしてくて、少し混乱するかもしれませんが・・・

とは言っても、共通接線が3本あるって言われてますしね。東大入試にしては簡単でしょう。

 

これが、「共通接線を全て求めよ」だと、グッと難易度が上がるんでしょうけどね。3本と言われてたら、3つ求めるまで計算しますので。

 

という事で、手書きの解答をどうぞ!

 

 

補足説明としては、与えられた2つの放物線が、逆関数になってますよね。

だから、a=‐1は、kやbに関係なく、常に解になっています。

 

あと、最後に求めたaの値も、2と1/2ですから、これもy=xに関して対称になってますね。

この辺りに注目すると、計算ミスも防げそうです。

 

という事で、東大入試の解説も明日で最後です!

明日は、理系数学で最も難しいとされている、第6問!

 

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