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では、今日も行きましょう。理系第５問です！
多分、こういう問題は、受験生が得意なタイプですね。
なんだかゴチャゴチャ計算していたら解けちゃった、みたいな問題です。
僕は、今の受験数学のトレンドとして、計算訓練をする比重が多いなと感じていて、本来はもっと理論的に教えるべきだと思っています。
ただ、この問題に関しては、理論を抜きにして、与えられた条件を代入して式をいじると解けてしまう。という事で、受験生が得意なタイプだろうと思うわけです。
まず（１）は共通接線の条件を立式するわけですが、今回はｙ＝ａｘ＋ｂの式と、２つの放物線が接しているとのこと。
接する条件には色々ありますが、今回は素直に判別式で良さそうですね。
もう少し細かく言うと、例えば３次関数とか、指数や三角関数が含まれている関数であれば、微分を用いるのでしょうけど、そういうわけでもないし、
接点が分かっていれば、接点から接線を引く事も出来るんですが、ちょっと使える形ではない。
まあ、接するのが放物線（二次曲線）ですからね。あれこれ考えず、判別式を創っちゃえば良い、ということでしょう。
という事で、（判別式）＝０の等式を２本立てると、（１）は解けてしまいます。
不明量がａとｂとｋで３文字。
それに対して、（判別式）＝０の等式が２本です。
そして、問題文の要求が、ｂとｋをａを用いて表せという事ですから、１文字分余ってＯＫ
という事で、方針の目途も簡単に立ちます。
次に（２）。
これも、何も考えず、ａ＝２を代入するところから始めます。
すると、（１）の結果もありますから、ｂとｋの値が出ますね。
これで部分点は確保です。
これが何を意味しているかと言うと、求めたｋの値の時に共通接線が３本あって、そのうちの１本がａ＝２かつ求めたｂであるということ。
つまり、ｋはこれ以上いじらなくて良くて、ａとｂはあと２組求める必要があります。
という事で、今度は求めたｋの値を元の式に代入して、ａとｂの値を探していく作業に移ります。
この辺りがややこしてくて、少し混乱するかもしれませんが・・・
とは言っても、共通接線が３本あるって言われてますしね。東大入試にしては簡単でしょう。
これが、「共通接線を全て求めよ」だと、グッと難易度が上がるんでしょうけどね。３本と言われてたら、３つ求めるまで計算しますので。
という事で、手書きの解答をどうぞ！
補足説明としては、与えられた２つの放物線が、逆関数になってますよね。
だから、ａ＝‐１は、ｋやｂに関係なく、常に解になっています。
あと、最後に求めたａの値も、２と１／２ですから、これもｙ＝ｘに関して対称になってますね。
この辺りに注目すると、計算ミスも防げそうです。
という事で、東大入試の解説も明日で最後です！
明日は、理系数学で最も難しいとされている、第６問！
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