2010年センター試験
数ⅡB 問２の解説です。
〔１〕
y＝－x^3＋9x^2＋kx
点Q（t，－t^3＋9t^2＋kt）における接線の傾きは
y’＝－3x^2＋18x＋k より
-3t^2＋18t＋k
接線の式は
y＝（－3t^2＋18t＋k）（x－t）＋（－t^3＋9t^2＋kt）
y＝（－3t^2＋18t＋k）x＋（2t^3－9t^2）
これがP（1，0）を通るので
0＝（－3t^2＋18t＋k）1＋（2t^3－9t^2）
k＝－2t^3＋12t^2－18t
p(t)＝－2t^3＋12t^2－18t とおくと
p’(t)＝－6t^2＋24t－18
＝－6（t^2－4t＋3）
＝－6（t－1）（t－3）
増減表を書いて
t＝1 のとき 極小値－8
t＝3 のとき 極大値0
をとる。
k＝－2t^3＋12t^2－18t
を満たす，実数解tの個数が接線の本数に対応するので
ちょうど2本になるのは
kがp(t)の極値と一致するときなので
k＝0，－8のときである。
－8＜k＜0 のとき3本
k＜－8，0＜k のとき1本なので
k＝5のときは 1本
k＝－2のときは 3本
k＝－12のときは 1本
である。
〔２〕
y＝－x^3＋9x^2
と
y＝－x^3＋6x^2＋7x
の交点は
－x^3＋9x^2＝－x^3＋6x^2＋7x
3x^2－7x＝0
x＝0，7/3
-1≦x≦0のとき
∫［-1→0］（（－x^3＋9x^2）－（－x^3＋6x^2＋7x））dx
＝∫［-1→0］（3x^2－7x）dx
＝［x^3－7/2x＾2］（-1，0）
＝0－（－1－7/2）＝9/2
0≦x≦2のとき
∫［0→2］（－3x^2＋7x）dx
＝［－x^3＋7/2x^2］（0，2）
＝（－8＋14）－0
＝6
9/2＋6＝21/2