センター数ⅡB 問１ 解説

2010年センター試験

数ⅡB　問１の解説です。

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〔１〕

xy＝128　より

log[2]x＋log[2]y＝7

また

②式を通分すると

（log[2]x＋log[2]y）/｛（log[2]x）（log[2]y）｝＝7/12

よって

（log[2]x）（log[2]y）＝12

解と係数の関係より，log[2]x，log[2]y　は

t^2－7t＋12＝0

の解である。方程式を解いて

t＝3，4

∴（x，y）＝（8，16），（16，8）

〔２〕

cosx＝sin（π/2－x）　

なので

sin4θ＝cosθ　の右辺をsinに直して

sin4θ＝sin（π/2－θ）　・・・（※）

　0＜θ＜π/2　なので

4θの取りうる値は

　0＜4θ＜2π

（π/2－θ）　の取りうる値は

　0＜（π/2－θ）＜π/2

よって　（※）を満たすθは

　4θ＝π/2－θ

　　θ＝π/10

または

　4θ＝π－（π/2－θ）

　　θ＝π/6

ここで，sin（π/6）＝1/2　である。

　sin（π/10）の値は　sin4θ＝cosθ　を変形して解くと求められる。

2sin2θcos2θ＝cosθ

4sinθcosθ・（1－2（sinθ）＾2）＝cosθ

（4sinθ－8（sinθ）＾3）cosθ＝cosθ

cosθ＞0なので

（4sinθ－8（sinθ）＾3）＝1

8（sinθ）＾3－4sinθ＋1＝0　・・・②

sinθ＝1/2　は②式の解なので

②式は因数分解ができて

（2sinθ－1）（4（sinθ）＾2＋2sinθ－1）＝0

4（sinθ）＾2＋2sinθ－1＝0

解の公式，sinθ＞0より

　sin（π/10）＝（－1＋√5）/4