「分離量/自然数」をはっきりさせる | メタメタの日


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>324,325 Sparrowhawkさん


 この間のやり取りの過程で見え隠れしてきて、私が考えなければいけないと思っていた事柄を、はっきり問題として取り出して指摘され、それらに対する考えを提示されたことに対して、先ず敬意を表します。

 示された考えには同意できる点と同意できない点があります。

 先ず、同意できる点です。


(1)数教協の「数は量の抽象である」というテーゼに私は納得できたし、今も納得しているのですが、これを、「量→数」という、歴史的・論理的な先後関係で理解していましたが、そうではなく、


>「量」の概念は「数」の概念とともに発展してきた<


という指摘に同意します。

「数」という表現形態が形を整えるのに相即して「量」の概念も明確になっていった、と思います。

このことを明確に指摘されたことに敬意を表します。

この点までは同意できますが、以下、同意できない点です。


(2)しかし、そうすると、数は先ず「自然数」が認識され、自然数の2つの組として「分数」が生まれた(ここには、歴史的・論理的な先後関係があると思います)のですから、量の概念の認識についても、自然数に対応する「分離量」の概念が形成されてから、分数を必要とする「連続量」の概念が明確になっていったということになるでしょう。

 ですから、歴史的・論理的順序に沿って、先ず「分離量/自然数」の概念を明確にしなければならないと思うのです。


(3)Sparrowhawkさんが、

①<ある程度の『順序数』はなんらかの「概念」の前提になる>

②<ある程度の『順序数』→「量」・「数」>

③<『順序数』を前提とする「アルキメデス性」は「量」に秩序(互除法にせよ十進表記にせよ)を与える>

④<『順序数』は原初的なイメージとしての「時間」や「空間」(前後,上下,遠近などの『順序』)の言語化ないし記号化の前提>


と言われるときの、『順序数』の意味を把握しかねてます。

最初は、②でいう、<「量」・「数」の前提の『順序数』>とは、大小の比較可能性のことかなと、思ったのです。

何回か引用してきた銀林浩『量の世界』(1975年)は、「量とは何か」に次の3つの要件を挙げているわけです。

A.比較可能性

B.差異の相等化

C.アルキメデスの公理

そして、A.しか持ち合わせてない量を、「序数的段階」の量、あるいは「質的量」「序数的量」などとよび(26頁)、B.C.の条件も持った量を「本来の量」とか「基数的段階」の量としています。

このA.の「比較可能性」あるいは「序数的量」のことを<ある程度の『順序数』>と呼んでいるのかとも思ったのですが、④で、<前後,上下,遠近などの『順序』の前提>とも書かれているので、比較可能性の、さらにその前提のこと、つまり、あたかも「理性」そのものかとも見紛うが、しかし、対象を概念に分節するだけの理性ではなく、それらの概念に「秩序」「順序」を与える理性のことであり、その秩序とは、前後、上下、遠近、大小などの二項間の関係だけでなく、三項間の推移律(a<b、b<c ならば a<c)をも満たすものであろう・・・。

一応、『順序数』の意味を、このように理解します。

 以上が、Sparrowhawkさんの考えに対する私の理解なのですが、以下10行ほどは、銀林『量の世界』に対する私の理解です。(この本の初めの「第1章量の一般論」の40頁ほどしか読んでいないので、48頁からの「第2章外延量」(例の「基数的目盛」「序数的目盛」の表現が出てくる章)で銀林さんが明記されているか、あるいは私の誤解が指摘されているかもしれず、このトピでも既にSparrowhawkさんとくれたびさんのやりとりで、その正否が議論済みかとも思うのですが・・・)

 銀林さんは、A.B.Cの3つの条件を量の条件として要求しているようにも読めるのですが、「C.アルキメデスの公理」まで要求されるのは、連続量の場合であって、単位量1が最小値として決まっている分離量の場合は、A.B.までで良いはずです。また、銀林さんは、「アルキメデスの公理」を自然数を使って説明しているので、全体の構成が、量から数を説明する(定義する)ということのはずなのに、量の説明(定義)に数を使っているように読めてしまう。これも、量の概念と数の概念の相即性と言えなくもないのですが・・・。


(4) 「分離量/自然数」の概念を明確にしなければならないという(2)の最後の行の続きです。

Sparrowhawkさんの「単位部分」と「単位部分の境界」というアイディアは面白いと思いますし、「部分」「境界」という言葉の使用については、「あえて,連続量にかかわる用語を選びました」(@299番)と自覚的な確信犯であることも分かったのですが、先ず「分離量/自然数」を論じなければならないと思うのです。

「分離量/自然数」は、「連続量/実数」に、歴史的・論理的そして発達的にも先行するものである(これは「自明」だと思うのですが、立証が必要でしょうか?)のですから、自然数が定義されたら、それを使って、「アルキメデスの公理」を説明することも、「アルキメデスの公理」を連続量の条件として要求することも、それ自体は矛盾しないと思うのです。

とにかく、先ずは、「分離量/自然数」とは何か。


>すくなくとも「基数」を求めるには,『順番に数える』(あるいは『順番に数え』られたものをもとにする)必要があります。(@324番)


 ここなのです、ポイントは。実は、十数日前から、果たして人類は最初に数えたのだろうか、と考えているのです。

{●}や{□}や{|}、・・・に、「1」を表すことば、たとえば「ヒ」を付けて呼び、

{●●}や{□□}や{||}、・・・に、「2」を表すことば、たとえば「フ」を付けて呼び、

{●●●・・・}や{□□□・・・}や{|||・・・}、・・・に、「3」を表すことば、たとえば「ミ」を付けて呼び、

{●}<{●●}<{●●●・・・}、つまり、1<2<3、ということを認識していたとき、果たして人類は、「数えていた」と言えるのだろうか、と。

 今でも、私たちは、4つぐらいまでの個数は、「数えないでも」分かります。個物の布置(置かれた図柄)によったら、10ぐらいまでは数えないで分かるでしょう。(七田式は、布置によらずに数十ぐらいまで可能にするようですが、それが何の意味があるのか、野鳥の会ではないんだからと思っていますが)

 未開種族の数詞が3までしかないことを、文明人が上から目線で語ることがありますが、ヒ<フ<ミ は、long <longer <longest とどこが違うのかとも思います。個物の「多さ」や物の「長さ」を、このように認識している段階は、「量」を、上記の「A.比較可能性」だけで認識しているということでしょう。この段階では、「多さ」は、まだ数値化された(数えた)とは言えないでしょう。「長さ」が数値化されたとは言えないように。

 しかし、「長さ」と違って、「多さ」については、個物が分離していて、単位量1が「自然に」決まっていて、その単位量で増減します。{●}、{●●}、{●●●}を超えて増加した、{●●●●}、{●●●●●}、{●●●●●●}、・・・・・・が概念として分節化されることが可能です。そして、{●}、{●●}、{●●●}、{●●●●}、{●●●●●}、{●●●●●●}、・・・・・・を、ヒ、フ、ミ、ヨ、イ、ム、・・・と名づけて(基数の命名)、{●●●●●}と{●●●●●●}の区別が見ただけでは分からないとき、{●ヒ、●フ、●ミ、●ヨ、●イ}、と、●と「呼び名」を「一対一対応」させて、基数の名前を確認するとき、それは「数えた」と言えるでしょう。


 さて、テーブルの上に分散しているミカンに、{い、ろ、は、に、ほ}と名前が付いていて、数えたら5個だった。大きさの順に言うと「は、ろ、に、ほ、い」だな、と頭の中で考えたとき、「は」と「ろ」の「間」にも、「ろ」と「に」の「間」にも何の意味もないし、その大きさの順にテーブルの上に並べたとき、5個をくっつけて並べようが、離して並べようが、その接した「境界」や離した「間」には、やはり何の意味もないでしょう。分離量とはそういうもののはずです。単位量が図として地から浮上して認識され、単位量同士は分離していて、その単位量の個数が数えられる。

しかし、ミカンをテーブルの一つの縁に等間隔に並べたり、丸いテーブルの周に沿って等間隔に並べたりすると、ミカンとミカンの「間」が、ミカンとは別の「図」として地から浮上してきて、「間」が「意味」を持ってくる。それは、縁という直線や、円周という連続量がミカンという分離量によって区分されている図柄を見てしまうということであって、分離量ではなく、連続量を見ているからでしょう。

 あるいは、{甲、乙、丙、丁}という名前の4頭の牛を飼っている人が、生まれた順だと、{甲、丙、丁、乙}だなと頭の中で思い浮かべたとき、甲と丙の「間」が1年半という「意味」を持ったとしたら、それは、年月の流れの中に4頭の牛を置いたからであって、認識されているのは、時間軸という連続量とその上の「点」でしょう。


(5)人類は、歴史的に先ず、分離量を自然数で数えた。分離量は「自然に」単位量同士が分離していたので、個数を数えることができた。そして連続量を数値化しようとしたときに、このことが応用された。つまり、連続量を人為的に設定した単位量で分けてその個数を数えた。単位量の端下の処理は、「分数」と総称されるものでなされた。(エジプトでは「単位分数」で、メソポタミアでは「60進法小数(分数)」で、中国では「之分」(分数)で、ギリシアでは「比」で) 「分数」は、2個の自然数の組(「60進法小数(分数)」は分母にあたる60の累乗の数が明示されていないと考えて)で表された。

 連続量を数値化するときには、自然状態では連続している量を単位量で分けて考えるわけですから、分けられた「部分」と分ける「境界」ができる。連続量を表す数値とは、「単位量と端下量(分数)を合わせた個数」(つまり「部分」)を表すともみなせるし、その「部分」の「境界」を表すともみなせる。「比」で表すということは、「境界」を示しているということでしょう。連続量の数値は、正しくは「境界」に付けられたものであり、「境界」を示すものではなくてはならないはずですが、どの文明においても、連続量の認識の歴史の初めからこのことが理解されていたわけではなかった。人類史的にも、本当にはっきりしたのは、実数の概念が確立した19世紀のことではないでしょうか(ということが、私にとってもはっきりしたのは、ここ数日のことですから・・・苦笑)


(6)連続量を単位量で分けて分離量として数値化したことから始まって、「連続量/実数」という概念が形成されていくと、今度は逆に、分離量をつなげて連続量として数値化することも可能となります。整数は、数直線上の整数点となり、分離量としての「特権性」を失います。

 人間の数は分離量のはずだったのに、人口密度を計算するときには、人数の小数表示もなされます。人間は、計算上で連続量にされるだけでなく、人命などは分離量の典型中の典型のはずだったのに、妊娠中の中絶や脳死状態の臓器移植などが問題になると、「1(生)」か「0(死)」だけではなく人間の命をカウントする必要も生まれているでしょう。

 分離量の整数を連続量の実数の中に埋め込むことは可能だし、分離量の数え方を、連続量の「数え方」へと変更して、分離量と連続量を区分することをやめて連続量で統一することは不可能ではないでしょう。しかし、そうすることは、今までの文化や伝統のかなりの部分を根こそぎにすることになり、そうする意味や価値があるとは思えません。

 たとえば、現在、時間の単位の「数え方」は、上図のようになされています。「時」以下が連続量の「数え方」で、「日」以上が分離量の数え方です。これを、すべて連続量に変更すると別図のようになります。現在の2009年5月30日8時15分30秒は、変更後は、2008年4月29日午前8時15分30秒となります。また紀元前1年10月25日23時50分15秒は、マイナス0年2月6日0時9分45秒となるように、紀元前については、0年0月0日0時0分0秒の原点からの絶対値にマイナスを付けて表さなくてはいけなくなるはずです。(現在は、天文学では計算の都合上、紀元前の年数を1だけ減らし紀元前1年を紀元0年と読み替えているそうですが)

 こんなことをして文字通り歴史を書き替える必要があるとは、到底思えません。年月日は、今までどおり、カレンダー通りで呼ばれるでしょう。しかし、年数、月数、日数などは、分離量の「かぞえ」の数え方と、連続量の「満」での数え方が適宜使い分けられていくでしょう。そして、量を分離量として数えることと、連続量として計ることの違いを教えていけば良いのだと思っています。