※ 「x^2」と表記されているものは、「xの2乗」を意味します。
解答作成日：2015年3月31日
テーマ：高次方程式・1の3乗根の性質・整式の除法と剰余の定理
履修学年：高校2年
普通の筆算では難しいですね。
m次式をn次式で割ると、商が(m－n)次式で余りが(n－1)次式以下になることを知っていれば、そこまで手こずる問題ではありません。
本題では、x^671＋x^6＋x^10＝(x^2＋x＋1)P(x)＋Q(x)とおいて、余りに該当するQ(x)がどのような値(式)になるか求める方針です。
P(x)がどんな式になるのか見積もれない場合も問題ありません。
x^2＋x＋1＝0となるxの値を代入すると、(x^2＋x＋1)P(x)がP(x)の値に関わらず0になって(0をかけているから)、同時にx^671＋x^6＋x^10＝Q(x)が成り立つのです。
しかしここで、x^2＋x＋1＝0を満たすxの値と言っても、2つの虚数になってしまい、しかも、それをx^671＋x^6＋x^10に代入するのは、恐ろしく手間がかかってしまいます。
(以降、x^2＋x＋1＝0を満たすxの値を、ω1,ω2と表します。)
これもちょっとした工夫で、問題解決！！
ω1^2＋ω1＋1＝0なので、(ω1－1)をかけても、(ω1－1)(ω1^2＋ω1＋1)＝0
この左辺を展開すると…。
ω1^3－1＝0
xにω2を代入した場合も、同様の要領が成り立ちますね。
そうなんです。
「ω1とω2はいずれも3乗して1になる虚数である」ことがわかれば、「ω1とω2の3の倍数乗が1になる」こともわかり(指数の性質を確認してみましょう。)、
ω1^671+ω1^6+ω1^10とω2^671+ω2^6+ω2^10の次数をどんどん下げられますね。
仕上げの余りの1次式に関する恒等式も、忘れずに。
ω1とω2はx^2＋x＋1＝0の解なので連立方程式を解く際に「解と係数の関係」が使えますね。
解と係数の関係につきましては、「二次方程式・三次方程式の解と係数の関係」でご説明しておりますので、併せてご参照ください。
気をつけるべき最後の落とし穴は、ω1とω2は「虚数である」ということですね。
これを乗り切れれば、確かに余りが0になるとがわかります。